Question

7．某同學(xué)根據(jù)所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)了如圖所示加速器，給質(zhì)量為m，電量為+q的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）加速，兩固定的平行金屬板上下放置，板間固定一半徑為R的豎直光滑絕緣圓軌道，在軌道最高點(diǎn)和最低點(diǎn)處各有一個(gè)感應(yīng)器（視為質(zhì)點(diǎn)）．某時(shí)刻小球以初速度v₀從軌道最低點(diǎn)水平向右沖入圓軌道，感應(yīng)器立刻通過(guò)控制電路在兩金屬板間加上大小恒定的電壓，使板間產(chǎn)生方向豎直向上的電場(chǎng)強(qiáng)度E，且qE=2mg，之后小球每經(jīng)過(guò)一次感應(yīng)器感應(yīng)器就通過(guò)控制電路使電場(chǎng)反向一次：
（1）要讓小球始終不脫離軌道，v₀至少為多大？
（2）在v₀�。�1）臨界值情況下，小球轉(zhuǎn)了n圈回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)的速度多大？
（3）若感應(yīng)器從感知小球到通過(guò)控制電路使電場(chǎng)反向，需要反應(yīng)時(shí)間△t，求該加速器能使小球達(dá)到的最大速度（小球達(dá)最大速度時(shí)可近視為作勻速圓周運(yùn)動(dòng)）．

Answer 1

分析 （1）首先分析小球的受力情況，據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件和動(dòng)能定理求解即可．
（2）據(jù)動(dòng)能定理求出轉(zhuǎn)n圈回到出發(fā)點(diǎn)的速度；
（3）據(jù)反應(yīng)時(shí)間，分析小球的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球速度最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為2△t，據(jù)此求解即可．

解答 解：（1）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受重力和電場(chǎng)力的合力為mg，方向向上，所以要讓小球始終不脫離軌道，在低點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，即mg=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：v₀=$\sqrt{gR}$
（2）小球轉(zhuǎn)一圈時(shí)，電場(chǎng)力和重力做的功為：2mgR+6mgR=8mgR
小球轉(zhuǎn)了n圈回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，據(jù)動(dòng)能定理得：8nmgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v=$\sqrt{16ngR+gR}$
（3）由于反應(yīng)時(shí)間△t，當(dāng)小球到達(dá)下一個(gè)感應(yīng)器時(shí)，小球的速度最大，即小球轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間為2△t，
此時(shí)的速度為：v_max=$\frac{2πR}{2△t}$=$\frac{πR}{△t}$
答：（1）要讓小球始終不脫離軌道，v₀至少為$\sqrt{gR}$．
（2）在v₀�。�1）臨界值情況下，小球轉(zhuǎn)了n圈回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)的速度$\sqrt{16ngR+gR}$
（3）若感應(yīng)器從感知小球到通過(guò)控制電路使電場(chǎng)反向，需要反應(yīng)時(shí)間△t，該加速器能使小球達(dá)到的最大速度$\frac{πR}{△t}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是信息題，難度較大，關(guān)鍵是類比圓周運(yùn)動(dòng)的臨界條件是解題的突破口，靈活利用動(dòng)能定理和反應(yīng)時(shí)間分析小球的最大速度，總之，此題的靈活性很強(qiáng)．