Question

如圖所示，A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一顆恒星運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的方向相同，A、B兩行星的軌道半徑分別為r₁、r₂，已知恒星的質(zhì)量為M，且恒星對(duì)兩行星的引力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩行星間的引力，兩行星的軌道半徑r₁＜r₂，若在某一時(shí)刻兩行星相距最近，試求：
（1）經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間兩行星相距最近？
（2）經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間兩行星相距最遠(yuǎn)？

Answer 1

（1）
（2）

（1）設(shè)經(jīng)過時(shí)間A、B兩行星轉(zhuǎn)過的角度分別是和，則兩行星相距最近的條件是：-                    
又因?yàn)楹阈菍?duì)行星萬有引力提供向心力，則， 
即對(duì)A、B兩行星則有：
由此可得：。     
（2）如果經(jīng)過時(shí)間，A、B兩行星處于同心圓的同一條直線上，則A、B兩星必然相距最遠(yuǎn)，
A、B二星各自轉(zhuǎn)過的角度之差必為的奇數(shù)倍，即-
代入、，的值可得：