Question

19．如圖所示，質量為m的小球，由長為L 的細線系住，線能承受的最大拉力是9mg，細線的另一端固定在A點，AB是過A的豎直線，E為A正下方的一點，且AE=0.5L，過E作水平線EF，在EF上釘鐵釘D，現將小球拉直水平，然后由靜止釋放，小球在運動過程中，不計細線與釘子碰撞時的能量損失，不考慮小球與細線間的碰撞．
（1）若釘鐵釘位置在E點，請計算說明細線與釘子第一次碰撞后，細線是否會被拉斷？
（2）要使小球能繞鐵釘在豎直面內做完整的圓周運動，求釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值．

Answer 1

分析 （1）若釘子在E點，則小球經過B點前后瞬間，速度大小不變，半徑變?yōu)樵瓉硪话�，先根據動能定理求出到達B點的速度，再根據向心力公式分別求出繩子的拉力，與最大拉力比較即可判斷；
（2）設在D點繩剛好承受最大拉力，當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v₁，由牛頓第二定律及機械能守恒定律列式求解x的最大值，小球恰好能在豎直平面內做圓周運動，在最高點重力提供向心力，列出方程，從釋放到運動到最高點的過程中運用動能定理列出方程，聯立即可求解最小值，從而求出范圍．

解答 解：（1）小球釋放后沿圓周運動，運動過程中機械能守恒，設運動到最低點速度為v，由機械能守恒定律得：mgl=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
碰釘子瞬間前后小球運動的速率不變，碰釘子后瞬間圓周運動半徑為$\frac{1}{2}$l，
碰釘子后瞬間線的拉力為F，由牛頓第二定律得：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{\frac{l}{2}}$
解得：F=5mg＜9mg，所以細線不會被拉斷，
（2）設在D點繩剛好承受最大拉力，記DE=x₁，則：AD=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$
懸線碰到釘子后，繞釘做圓周運動的半徑為：r₁=l-AD=l-$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$
當小球落到D點正下方時，繩受到的最大拉力為F，此時小球的速度v₁，由牛頓第二定律有：
F-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$結合F≤9mg
由機械能守恒定律得：mg （$\frac{l}{2}$+r₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上式聯立解得：x₁≤$\frac{2}{3}l$
隨著x的減小，即釘子左移，繞釘子做圓周運動的半徑越來越大．轉至最高點的臨界速度也越來越大，但根據機械能守恒定律，半徑r越大，轉至最高點的瞬時速度越小，當這個瞬時速度小于臨界速度時，小球就不能到達圓的最高點了．
設釘子在G點小球剛能繞釘做圓周運動到達圓的最高點，設EG=x₂，
則：AG=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$，r₂=l-AG=l-$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$
在最高點：mg≤$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{2}}$由機械能守恒定律得：mg （$\frac{l}{2}$-r₂）=$\frac{1}{2}$mv₁²
聯立得：x₂≥$\frac{\sqrt{7}}{6}l$
釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍是：$\frac{\sqrt{7}}{6}l$≤x≤$\frac{2}{3}l$
答：（1）細線與釘子第一次碰撞后，細線不會被拉斷；
（2）若小球能繞釘子在豎直面內做完整的圓周運動，則釘子位置在水平線EF上距E點距離的取值范圍為$\frac{\sqrt{7}}{6}l$≤x≤$\frac{2}{3}l$．

點評 本題考查的知識點比較多，涉及到圓周運動、機械能守恒定律和動能定理，要求同學們解題時能熟練運用動能定理并結合幾何知識解題，難度較大．