Question

17．如圖所示，第一象限的某個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁，磁場(chǎng)的下邊界與x軸重合．一質(zhì)量m=1×10^-14kg、電荷量q=1×10^-10C的帶正電微粒，以某一速度v沿與y軸負(fù)方向成60°角從N點(diǎn)射入，經(jīng)P點(diǎn)進(jìn)入第四象限內(nèi)沿直線運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后，微粒經(jīng)過y軸上的M點(diǎn)并沿與y軸負(fù)方向成60°角的方向飛出，第四象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂，E的大小為0.5×10³V/m，B₂的大小為0.5T；M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-10），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，30），不計(jì)粒子重力．
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁的大小和微粒的運(yùn)動(dòng)速度v；
（2）B₁磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在第四象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，由平衡條件可以求出粒子速度，根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡求得圓周運(yùn)動(dòng)半徑，由洛倫茲力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）根據(jù)幾何關(guān)系確定磁場(chǎng)所在區(qū)域，由結(jié)合軌跡求得磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．

解答 解：（1）帶正電微粒以某一速度v沿與y軸負(fù)方向60°角從N點(diǎn)射入，由于重力忽略不計(jì)，微粒在第一象限內(nèi)僅受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；微粒在第四象限內(nèi)僅受電場(chǎng)力和洛倫茲力，且微粒做直線運(yùn)動(dòng)，速度的變化會(huì)引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運(yùn)動(dòng)，因此，電場(chǎng)力和洛倫茲力大小相等，方向相反，由力的平衡有Eq=B₂qv
所以$v=\frac{E}{B_2}=\frac{{0.5×{{10}^3}}}{0.5}m/s=1×{10^3}m/s$
根據(jù)題意畫出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示：
因?yàn)镸點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-10），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，30），由幾何關(guān)系可知微粒在第一象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為$R=\frac{{20\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{{\sqrt{3}}}{15}m$．
微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，即$R=\frac{{20\sqrt{3}}}{3}cm=\frac{{\sqrt{3}}}{15}m$
解得${B_1}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}T$．

（2）由圖可知，磁場(chǎng)B₁的最小區(qū)域應(yīng)該分布在圖示的矩形PACD內(nèi)，
由幾何關(guān)系易得PD=2Rsin60°=0.2m，$PA=R（{1-cos60°}）=\frac{{\sqrt{3}}}{30}m$．
所以，所求磁場(chǎng)的最小面積為$s=PD•PA=\frac{1}{5}×\frac{{\sqrt{3}}}{30}{m^2}=\frac{{\sqrt{3}}}{150}{m^2}$．
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁的大小為$\frac{\sqrt{3}}{2}T$和微粒的運(yùn)動(dòng)速度v為1000m/s；
（2）B₁磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為$\frac{\sqrt{3}}{150}{m}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 當(dāng)帶電粒子在電場(chǎng)與磁場(chǎng)中做直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于洛倫茲力由速度決定，所以粒子必做勻速直線運(yùn)動(dòng)．當(dāng)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，僅受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可確定磁感應(yīng)強(qiáng)度．