Question

3．如圖示，一個質(zhì)量為M的勻質(zhì)實心球，半徑為R，如果從球上挖去一個直徑為R的球，放在相距為d=2.5R的地方，分別求下列兩種情況下挖去部分與剩余部分的萬有引力大�。�（答案必須用分式表示，已知G，M，R）

（1）從球的正中心挖去部分與剩余部分（圖1）的萬有引力為多少？
（2）從與球面相切處挖去部分與剩余部分（圖2）的萬有引力為多少？

Answer 1

分析 用沒挖之前球?qū)π∏虻囊�力，減去被挖部分對小球的引力，就是剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的引力．結(jié)合萬有引力定律公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）方法一：挖去的球的半徑是大球半徑的$\frac{1}{2}$，則m=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$知，質(zhì)量m=$\frac{1}{8}M$．
沒挖去前，重物對$\frac{1}{8}M$物體的萬有引力${F}_{1}=G\frac{M•\frac{1}{8}M}{enssp53^{2}}$=$\frac{G{M}^{2}}{50{R}^{2}}$，
挖去部分對$\frac{1}{8}M$的萬有引力${F}_{2}=G\frac{\frac{1}{8}M×\frac{1}{8}M}{aifovv4^{2}}$，
則從球的正中心挖去部分與剩余部分的萬有引力為$F={F}_{1}-{F}_{2}=\frac{7G{M}^{2}}{64zgnczri^{2}}$=$\frac{7G{M}^{2}}{400{R}^{2}}$．
方法二：直接根據(jù)萬有引力定律公式得，F(xiàn)=$G\frac{\frac{7}{8}M×\frac{1}{8}M}{t3btasp^{2}}=\frac{7G{M}^{2}}{64ww1qyn7^{2}}$=$\frac{7G{M}^{2}}{400{R}^{2}}$．
（2）沒挖去前，重物對$\frac{1}{8}M$物體的萬有引力${F}_{1}=G\frac{M•\frac{1}{8}M}{2dzqmbn^{2}}$=$\frac{G{M}^{2}}{50{R}^{2}}$，
挖去部分對$\frac{1}{8}M$物體萬有引力${F}_{2}′=G\frac{\frac{1}{8}M×\frac{1}{8}M}{（d-\frac{1}{4}R）^{2}}=\frac{{M}^{2}}{144{R}^{2}}$G．
則從與球面相切處挖去部分與剩余部分的萬有引力$F′={F}_{1}-{F}_{2}′=\frac{G{M}^{2}}{50{R}^{2}}-\frac{G{M}^{2}}{144{R}^{2}}$=$\frac{103G{M}^{2}}{6400{R}^{2}}$．
答：（1）從球的正中心挖去部分與剩余部分的萬有引力為$\frac{7G{M}^{2}}{400{R}^{2}}$．
（2）從與球面相切處挖去部分與剩余部分的萬有引力為$\frac{103G{M}^{2}}{6400{R}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵就是要對挖之前的引力和挖去部分的引力計算，因為挖去后重心還在圓心，也可以通過萬有引力定律公式直接求解，注意若不在圓心處挖去，不能運(yùn)用公式直接去計算剩余部分的引力，因為那是一個不規(guī)則球體．