Question

15．如圖所示，寬L=2m、足夠長的金屬導(dǎo)軌MN和M′N′放在傾角為θ=30°的斜面上，在N和N′之間連接一個(gè)R=2.0Ω的定值電阻，在AA′處放置一根與導(dǎo)軌垂直、質(zhì)量m=0.8kg、電阻r=2.0Ω的金屬桿，桿和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0T、方向垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場中．用輕繩通過定滑輪將電動(dòng)小車與桿的中點(diǎn)相連，滑輪與桿之間的連線平行于斜面，開始時(shí)小車位于滑輪正下方水平面上的P處（小車可視為質(zhì)點(diǎn)），滑輪離小車的高度H=4.0m．啟動(dòng)電動(dòng)小車，使之沿PS方向以v=5.0m/s的速度勻速前進(jìn)，當(dāng)桿滑到OO′位置時(shí)的加速度a=3.2m/s²，AA′與OO′之間的距離d=1m，求：

（1）該過程中，通過電阻R的電量q；
（2）桿通過OO′時(shí)的速度大��；
（3）桿在OO′時(shí)，輕繩的拉力大�。�
（4）上述過程中，若拉力對桿所做的功為13J，求電阻R上的平均電功率．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應(yīng)定律求出平均感應(yīng)電動(dòng)勢、由歐姆定律求出平均電流、由電流定義式的變形公式求出通過電阻R的電量q．
（2）由幾何關(guān)系求出α．根據(jù)小車沿繩子方向的分速度等于桿的速度，求桿通過OO′時(shí)的速度大�。�
（3）由感應(yīng)電動(dòng)勢為E=BLv，由歐姆定律求出電流，由安培力公式求出安培力，然后由平衡條件求出拉力的大�。�
（4）根據(jù)動(dòng)能定理求出克服安培力做功，從而求得電路產(chǎn)生總的電熱，由電路的連接關(guān)系求出電阻R上產(chǎn)生的電熱，即可求解電阻R上的平均電功率．

解答 解：（1）平均感應(yīng)電動(dòng)勢 $\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{BLd}{△t}$
通過電阻R的電量 $q=\bar I•△t=\frac{△Φ}{R+r}=\frac{BLd}{R+r}$
代入數(shù)據(jù)，可得：q=0.5C
（2）幾何關(guān)系：$\frac{H}{sinα}-H=d$
解得：sinα=0.8，α=53°
桿的速度等于小車速度沿繩方向的分量：v₁=vcosα=5×0.6=3m/s
（3）桿受的摩擦力 F_f=μmgcosθ=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×0.8×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3N
桿受的安培力${F_安}=BIL=\frac{{{B^2}{L^2}{{v}_1}}}{（R+r）}$
代入數(shù)據(jù)，可得  F_安=3N
根據(jù)牛頓第二定律：F_T-mgsinθ-F_f-F_安=ma
解得：F_T=12.56N
（4）根據(jù)動(dòng)能定理：$W+{W_安}-mgdsinθ-{F_f}=\frac{1}{2}mv_1^2$
解出 W_安=-2.4J
則電路產(chǎn)生總的電熱 Q_總=2.4J
由于R=r，那么，R上的電熱 Q_R=1.2J
此過程所用的時(shí)間 t=$\frac{Hcotα}{v}$=$\frac{4×cot53°}{5}$s=0.6s
R上的平均電功率 $\overline{P}=\frac{Q_R}{t}=\frac{1.2}{0.6}W=2.0W$
答：
（1）該過程中，通過電阻R的電量q是0.5C；
（2）桿通過OO′時(shí)的速度大小是3m/s；
（3）桿在OO′時(shí)，輕繩的拉力大小是12.56N；
（4）電阻R上的平均電功率是2.0W．

點(diǎn)評 本題是一道電磁感應(yīng)與力學(xué)、電學(xué)相結(jié)合的綜合題，分析清楚滑桿的運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解分析小車與桿的速度關(guān)系是關(guān)鍵．運(yùn)用E=BLv、歐姆定律、安培力公式、牛頓第二定律、平衡條件、能量守恒定律即可正確解題；求R產(chǎn)生的熱量時(shí)要注意，系統(tǒng)產(chǎn)生的總熱量是R與r產(chǎn)生的熱量之和．