Question

4．如圖所示，以O(shè)（0，0）為圓心，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于紙面向里．在磁場(chǎng)右側(cè)區(qū)域內(nèi)，有一沿x軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E．一質(zhì)量為m，電荷量為+q的粒子從A（0，r）點(diǎn)垂直于磁場(chǎng)方向射入，當(dāng)速度方向沿y軸負(fù)方向時(shí)，粒子恰好從B（r，0）點(diǎn)射出磁場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，求：

（1）求粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小v；
（2）求速度方向與y軸負(fù)方向?yàn)棣冉菚r(shí)，粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解；
（2）結(jié)合作圖，找出運(yùn)動(dòng)軌跡，然后求解出時(shí)間．

解答 解：（1）質(zhì)子射入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：$v=\frac{Bqr}{m}$
（2）當(dāng)質(zhì)子沿與Y軸負(fù)方向成夾角θ的方向從第一象限射入磁場(chǎng)時(shí)，設(shè)質(zhì)子將從C點(diǎn)射出磁場(chǎng)，如圖所示，其中O、O₁分別為磁場(chǎng)區(qū)域圓和質(zhì)子軌跡圓的圓心．由于軌跡圓的半徑等于磁場(chǎng)區(qū)域圓的半徑，所以O(shè)O₁AC為菱形，即O₁C平行Y軸，說明質(zhì)子以平行X軸的速度離開磁場(chǎng)，也以沿X軸負(fù)方向的速度再次進(jìn)入磁場(chǎng)．∠AO₁C=90°-θ．
所以，質(zhì)子第一次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
t₁=$\frac{90°-θ}{360°}T$，
粒子離開磁場(chǎng)后平行x軸進(jìn)入電場(chǎng)，因?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)方向沿x軸負(fù)方向，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，故粒子先做勻減速動(dòng)，后做勻加速運(yùn)動(dòng)，兩次運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，
有勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：$a=\frac{Eq}{m}$，
由：v=v₀+at，帶入得：t₂=$\frac{Br}{E}$．
此后質(zhì)子軌跡圓的半徑依然等于磁場(chǎng)區(qū)域圓的半徑，設(shè)質(zhì)子將從B點(diǎn)再次射出磁場(chǎng)．如圖所示，其中O、O₂分別為磁場(chǎng)區(qū)域圓和質(zhì)子軌跡圓的圓心，CO₂平行y軸．由于OCO₂B為菱形，即CO₂平行OB，即平行y軸，說明B就是磁場(chǎng)區(qū)域圓與Y軸的交點(diǎn)．這個(gè)結(jié)論與θ無關(guān)．
所以，OO₂BC為平行四邊形，∠BO₂C=90°+θ
質(zhì)子第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t₃=$\frac{90°+θ}{360°}T$
質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：t=t₁+2t₂+t₃=$\frac{T}{2}$+$\frac{2Br}{E}$
而粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)周期為：T=$\frac{2πm}{Bq}$
故質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為：$\frac{πm}{Bq}+\frac{2Br}{E}$．
答：（1）粒子射入磁場(chǎng)時(shí)速度的大小為：$\frac{Bqr}{E}$；（2）粒子從射入磁場(chǎng)到最終離開磁場(chǎng)的時(shí)間為：$\frac{πm}{Bq}+\frac{2Br}{E}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是描繪出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后根據(jù)磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力和電場(chǎng)中的勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)，列式求解出時(shí)間．