Question

8．在豎直平面內(nèi)固定一個半圓形軌道ABC，半徑為R，如圖所示，A、C兩點的連線水平，B為軌道最低點．其中AB部分是光滑的，BC部分是粗糙的．有一個質(zhì)量為m的乙物體靜止在B處，另一個質(zhì)量為4m的甲物體從A點無初速度釋放，甲物體運動到軌道最低點為與乙物體發(fā)生碰撞，碰撞時間極短，碰撞后結(jié)合成一個整體，甲乙構(gòu)成的整體滑上BC軌道，最高運動到D點，OD與OB連線的夾角θ=60°．甲、乙兩物體可以看作質(zhì)點，重力加速度為g，求：
（1）甲物體與乙物體碰后的瞬時速度及在碰撞過程中乙物體所受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對軌道最低點的壓力．
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運動到D的過程中，摩擦力對其做的功．

Answer 1

分析 （1）通過甲物體在A到B過程機械能守恒求得碰撞前速度，然后由動量守恒求得碰撞后的瞬時速度，即可由動量定理求得乙物體的沖量；
（2）根據(jù)碰撞后的瞬時速度，由牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）對物體從B到D應用動能定理即可求得摩擦力做的功．

解答 解：（1）甲物體從A到B過程只有重力做功，故機械能守恒，所以，甲物體碰撞前的速度為v₀，則有：$4mgR=2m{{v}_{0}}^{2}$，所以，${v}_{0}=\sqrt{2gR}$；
甲、乙兩物體碰撞過程動量守恒，故碰撞后物體的瞬時速度為v，則有：4mv₀=5mv，所以，$v=\frac{4}{5}{v}_{0}=\frac{4}{5}\sqrt{2gR}$；
那么，由動量定理可知：碰撞過程中乙物體所受到的沖量$I=△p=m△v=mv=\frac{4m}{5}\sqrt{2gR}$；
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，在豎直方向上只受重力、支持力作用，故應用牛頓第二定律可得：${F}_{N}-5mg=5m\frac{{v}^{2}}{R}=\frac{32}{5}mg$，所以，${F}_{N}=\frac{57}{5}mg$；
那么，由牛頓第三定律可知：甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對軌道最低點的壓力為$\frac{57}{5}mg$，方向豎直向下；
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運動到D的過程中，只有摩擦力和重力做功，故由動能定理可得：${W}_{f}-5mg（R-Rcosθ）=0-\frac{1}{2}×5m×{v}^{2}$；
所以，${W}_{f}=5mgR（1-cosθ）-\frac{5}{2}m{v}^{2}$=$-\frac{7}{10}mgR$；
答：（1）甲物體與乙物體碰后的瞬時速度為$\frac{4}{5}\sqrt{2gR}$，在碰撞過程中乙物體所受到的沖量為$\frac{4m}{5}\sqrt{2gR}$．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構(gòu)成的整體對軌道最低點的壓力為$\frac{57}{5}mg$，方向豎直向下；
（3）甲乙構(gòu)成的整體從B運動到D的過程中，摩擦力對其做的功為$-\frac{7}{10}mgR$．

點評 物體碰撞過程，內(nèi)力遠遠大于外力，且作用時間極短，那么對于碰撞中的任一物體來說外力的沖量對于內(nèi)力的沖量可以忽略，故只考慮內(nèi)力的沖量，那么對碰撞的兩個物體來說則可近似認為動量守恒．