Question

4．如圖所示，光滑水平地面上停放著一個(gè)木箱和小車，木箱質(zhì)量為m，小車和人的總質(zhì)量為M，M：m=4：1，人以速率v（相對(duì)地面，下同）沿著水平方向?qū)⒛鞠渫瞥�，左�?cè)墻壁連著一輕彈簧，彈簧的右端連一輕擋板（擋板質(zhì)量不計(jì)），木箱撞在擋板上壓縮彈簧，又被彈簧原速反彈回來(lái)，人接住木箱再以同樣大小的速率v第二次推出木箱，木箱又被反彈…，問(wèn)：
（1）人第一次推出木箱后，小車的速度多大？
（2）人第一次推出木箱時(shí)，做了多少功？
（3）人最多能推幾次木箱？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)人、車、木箱組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒求得第一次推出木箱后小車的速度；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理可知，人做的功轉(zhuǎn)化為小車、人和木箱的動(dòng)能，據(jù)此求解即可；
（3）當(dāng)推出木箱后，人和車的速度大于木箱的速度時(shí)，則人不可能再次推木箱，根據(jù)動(dòng)量守恒求解．

解答 解：（1）人第一次推出木箱前后人車木箱組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，取小車的速度方向?yàn)檎�方向則有：
Mv₁+m（-v）=0
可得人和小車獲得的速度${v}_{1}=\frac{mv}{M}$=$\frac{v}{4}$
（2）根據(jù)動(dòng)能定理可知，人第一次推出木箱過(guò)程中所做的功等于人車和木箱增加的動(dòng)能，故有：
W=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×4m×（\frac{v}{4}）^{2}+\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{5}{8}m{v}^{2}$
（3）推出木箱與彈簧作用后速度大小不變的改變方向相反運(yùn)動(dòng)，再次與人和車相互作用再以速度v返回
根據(jù)動(dòng)量守恒可知，人與木箱作用一次，人和車的動(dòng)量增加2mv，結(jié)合第一次推木箱，人和車動(dòng)量增加mv，則可知，人與木箱最多作用N次后人和小車獲得的動(dòng)量為：
P=（2N-1）mv
當(dāng)人和車的速度大于木箱的速度后，木箱反彈后將追不上人和車，故不能再次發(fā)生碰撞，故此時(shí)人和車的速度
${v}_{x}=\frac{P}{M}=\frac{（2N-1）mv}{M}$=$\frac{2N-1}{4}$v
此后木箱將不再與車碰撞，故滿足：
v_x≥v
即：$\frac{2N-1}{4}v≥v$
即N$≥\frac{5}{2}$
N取整數(shù)，故人最多推3次木箱．
答：（1）人第一次推出木箱后，小車的速度為$\frac{v}{4}$；
（2）人第一次推出木箱時(shí)，做了$\frac{5}{8}m{v}^{2}$的功；
（3）人最多能推3次木箱．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵是掌握人推木箱過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)量守恒，注意根據(jù)動(dòng)量守恒得出人推木箱一次后人與車的動(dòng)量增量，并知道不再推木箱的臨界條件是人推出木箱后車的速度大于等于木箱的速度，此后將不會(huì)再推木箱．