Question

如圖所示，粗糙水平面AB與豎直面內(nèi)的光滑半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)銜接，A、B之間間距為L，半圓形導(dǎo)軌半徑為R，一個(gè)質(zhì)量為m的靜止的小球在A處與一壓縮彈簧靠在一起，釋放小球后，小球開始向右運(yùn)動(dòng)，與彈簧分離后，經(jīng)過B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對(duì)導(dǎo)軌的壓力為其重力的8倍，之后沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，已知小球與水平面AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力的加速度為g，求：
（1）釋放小球前彈簧的彈性勢能；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)導(dǎo)軌的壓力；
（3）小球離開最高點(diǎn)C后落回水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析：（1）研究物體經(jīng)過B點(diǎn)的狀態(tài)，根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B點(diǎn)的速度，得到物體的動(dòng)能，物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過程中，根據(jù)能量守恒定律求解．
（2）物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的彈力的合力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)導(dǎo)軌的壓力；
（3）小球離開最高點(diǎn)C后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系求解落回水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離．

解答：解：（1）物塊在B點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m

v 2 B

R

；
由題意：F_N=8mg
聯(lián)立解得：v_B=

7gR

；
物體經(jīng)過B點(diǎn)的動(dòng)能：E_KB=

1

2

m

v

2 B

=3.5mgR；
在物體從A點(diǎn)至B點(diǎn)的過程中，根據(jù)能量守恒定律，彈簧的彈性勢能：
E_p=E_kB+μmgL=3.5mgR+μmgL=mg（3.5R+μL）；
（2）物體到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，支持力與重力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：mg+N=m

v 2 C

R

，
小球從B到C過程，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 B

；
又 v_B=

7gR

；
聯(lián)立上三式得：N=2mg，v_C=

3gR

根據(jù)牛頓第三定律得，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)導(dǎo)軌的壓力為：N′=N=2mg；
（3）小球離開最高點(diǎn)C后做平拋運(yùn)動(dòng)，則得：
豎直方向：2R=

1

2

gt2
水平方向：x=v_Ct
解得：x=2

3

R．
則小球離開最高點(diǎn)C后落回水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離為2

3

R．
答：（1）釋放小球前彈簧的彈性勢能為mg（3.5R+μL）；
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)導(dǎo)軌的壓力為2mg；
（3）小球離開最高點(diǎn)C后落回水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離為2

3

R．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是正確分析物體的運(yùn)動(dòng)過程和狀態(tài)，確定過程和狀態(tài)遵守的物理規(guī)律，能根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B點(diǎn)的速度，再結(jié)合能量守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解．