Question

如圖1所示，A、B為水平放置的平行金屬板，板間距離為d（d遠(yuǎn)小于板的長和寬）．在兩板的中心各有小孔O和O’，O和O’ 處在同一豎直線上．在兩板之間有一帶負(fù)電的質(zhì)點(diǎn)P．已知A、B間所加電壓為U₀時(shí)，質(zhì)點(diǎn)P所受的電場力恰好與重力平衡．現(xiàn)在A、B 間加上如圖2所示隨時(shí)間t作周期性變化的電壓U，已知周期（g為重力加速度）．在第一個(gè)周期內(nèi)的某一時(shí)刻t₀，在A、B 間的中點(diǎn)處由靜止釋放質(zhì)點(diǎn)P，一段時(shí)間后質(zhì)點(diǎn)P從金屬板的小孔飛出．
（1）t₀在什么范圍內(nèi)，可使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短？
（2）t₀在哪一時(shí)刻，可使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大？

Answer 1

設(shè)質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為m，電量大小為q，根據(jù)題意，當(dāng)A、B間的電壓為U0時(shí)，有
q =" mg                                " ①（1分）
當(dāng)兩板間的電壓為2U0時(shí)，P的加速度向上，其大小為a1，則
q - mg =" ma1                          " ②（1分）
解得 a1 =" g                                    " ③（1分）
當(dāng)兩板間的電壓為-2U0時(shí)，P的加速度向下，其大小為a2，則
q + mg =" ma2                                       " ④（1分）
解得 a2 ="3g                     "                ⑤（1分）
（1）要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后一直向下加速運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)小孔O’，則
              ⑥（1分）
解得                              ⑦（1分）
因?yàn)?，所以 ，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)小孔之前能一直加速．（1分）
因此要使質(zhì)點(diǎn)在飛出小孔之前運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到最短，質(zhì)點(diǎn)釋放的時(shí)刻t0應(yīng)滿足

即                         ⑧（1分）
（2）要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，須使質(zhì)點(diǎn)釋放后先向上加速、再向上減速運(yùn)動(dòng)，在到達(dá)小孔O時(shí)速度減為0，然后向下加速運(yùn)動(dòng)直到小孔O’．
設(shè)質(zhì)點(diǎn)釋放后向上加速時(shí)間為t1、向上減速時(shí)間為t2，則


                          ⑨（3分）
由以上各式解得 _,       ⑩（1分）
因?yàn)?sub>，，因此質(zhì)點(diǎn)P能向上先加速后減速恰好到達(dá)小孔O．（1分）
設(shè)質(zhì)點(diǎn)從小孔O向下加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’經(jīng)過的時(shí) 間為t3，則
    ⑾（1分）
解得                        ⑿（1分）
因?yàn)?sub>，因此質(zhì)點(diǎn)P能從小孔O向下一直加速運(yùn)動(dòng)到小孔O’，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)P從小孔O’飛出時(shí)的速度達(dá)到最大．（1分）
因此，要使質(zhì)點(diǎn)P從小孔飛出時(shí)的速度達(dá)到最大，質(zhì)點(diǎn)P釋放的時(shí)刻應(yīng)為         ⒀（1分）

解析