Question

6．如圖所示，空間存在著n個(gè)連續(xù)電磁場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)大小均相同，方向水平向右，磁場(chǎng)大小均相同，方向垂直于紙面，分別向里、向外，每個(gè)電場(chǎng)的寬度均為d，磁場(chǎng)寬度分別為d₁、d₂…d_n，其中d₁=d，d₂…d_n未知．一個(gè)帶電粒子（m，+q）從第一個(gè)電磁場(chǎng)區(qū)域的電場(chǎng)左端靜止釋放，以水平速度v₁進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角a=60°，以后在每個(gè)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角均為a=60°．電磁場(chǎng)區(qū)域足夠高，帶電粒子始終在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，不計(jì)帶電粒子的重力．求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）磁場(chǎng)寬度d_n的表達(dá)式及從開始到穿出第n個(gè)電磁場(chǎng)區(qū)域所用的總時(shí)間；
（3）若電磁場(chǎng)區(qū)域不是足夠高，高度h=5d，則帶點(diǎn)粒子從第幾個(gè)電磁場(chǎng)區(qū)域的上方離開．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理可求得電場(chǎng)強(qiáng)度；粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度是60°，由幾何關(guān)系即可求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑，然后由洛倫茲力提供向心力即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（2）由，由幾何關(guān)系可得出粒子在Ⅱ中轉(zhuǎn)過(guò)的圓心角，則可求得粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t；
（3）由牛頓第二定律可求得粒子區(qū)域Ⅲ中的半徑，由幾何關(guān)系可得．

解答 解：（1）電場(chǎng)力做的功等于粒子動(dòng)能的增加，得：$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
所以：$E=\frac{m{v}_{1}^{2}}{2qd}$
粒子在電磁場(chǎng)1中的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，則${r}_{1}=\frac{n5nb5v3_{1}}{sin60°}=\frac{2p99jz5b_{1}}{\sqrt{3}}$

帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，所以：$q{v}_{1}B=\frac{m{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$
所以：$B=\frac{m{v}_{1}}{q{r}_{1}}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{1}}{2q9rv9ln7_{1}}=\frac{\sqrt{3}m{v}_{1}}{2qd}$
（2）粒子在電場(chǎng)2中加速的過(guò)程中：$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，則：${v}_{2}=\sqrt{2}{v}_{1}$；
粒子在電場(chǎng)3中加速的過(guò)程中：$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$，則：${v}_{3}=\sqrt{3}{v}_{1}$
粒子在電場(chǎng)4中加速的過(guò)程中：$qEd=\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$，則：${v}_{4}=\sqrt{4}{v}_{1}$
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粒子在電場(chǎng)n中加速的過(guò)程中：${v}_{n}=\sqrt{n}{v}_{1}$
粒子在第n個(gè)磁場(chǎng)中的半徑：${r}_{n}=\frac{m{v}_{n}}{qB}=\frac{m•\sqrt{n}{v}_{1}}{qB}=\sqrt{n}{r}_{1}$
由于粒子在每個(gè)磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角均為a=60°，所以總是滿足：${r}_{n}=\frac{d79plfn_{n}}{sin60°}$
則：$jxp1vvr_{n}=\frac{\sqrt{3}}{2}{r}_{n}=\frac{\sqrt{3n}}{2}{r}_{1}=\sqrt{n}d$
由粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，以及由圖可知，粒子再次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)仍然沿水平方向，粒子仍然做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，若將n個(gè)電場(chǎng)依次連接，則可以將粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)看做是連續(xù)的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2nd}{a}}=\sqrt{\frac{2nd}{\frac{qE}{m}}}=\sqrt{\frac{2nd}{\frac{q•\frac{m{v}_{1}^{2}}{2qd}}{m}}}=\sqrt{\frac{4njvbrzl5^{2}}{{v}_{1}^{2}}}=\frac{2\sqrt{n}d}{{v}_{1}}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：$T=\frac{2π{r}_{n}}{{v}_{n}}=\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{q•\frac{\sqrt{3}m{v}_{1}}{2qd}}=\frac{4πd}{\sqrt{3}{v}_{1}}$，與粒子的速度無(wú)關(guān)；
粒子在每一處磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{0}=2×\frac{60°}{360°}•T$=$\frac{1}{3}T=\frac{4\sqrt{3}πd}{9{v}_{1}}$
經(jīng)過(guò)n個(gè)電磁場(chǎng)的區(qū)域后，粒子運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間：$t={t}_{1}+n{t}_{0}=\frac{2\sqrt{n}d}{{v}_{1}}+n•\frac{4\sqrt{3}πd}{9{v}_{1}}$=$（9\sqrt{n}+2\sqrt{3}•nπ）•\frac{2d}{{9v}_{1}}$
（3）由圖可知，粒子在電磁場(chǎng)1中向上的偏移量：
h₁=2×r₁•cos60°=r₁
同理，粒子在電磁場(chǎng)2中向上的偏移量：
h₂=r₂
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同理，粒子在電磁場(chǎng)n中向上的偏移量：h_n=r_n
經(jīng)過(guò)n個(gè)電磁場(chǎng)的區(qū)域后的偏移量：h=h₁+h₂+h₃+…+h_n=r₁+r₂+r₃+…+r_n=$（1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+…+\sqrt{n}）•\frac{2d}{\sqrt{3}}$
若電磁場(chǎng)區(qū)域不是足夠高，高度h=5d．可得：n≈3.1
所以帶點(diǎn)粒子從第4個(gè)電磁場(chǎng)區(qū)域的上方離開．
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度是$\frac{m{v}_{1}^{2}}{2qd}$，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{\sqrt{3}m{v}_{1}}{2qd}$；
（2）磁場(chǎng)寬度d_n的表達(dá)式是$hnvllfv_{n}=\sqrt{n}d$；從開始到穿出第n個(gè)電磁場(chǎng)區(qū)域所用的總時(shí)間是$（9\sqrt{n}+2\sqrt{3}•nπ）•\frac{2d}{{9v}_{1}}$；
（3）若電磁場(chǎng)區(qū)域不是足夠高，高度h=5d，則帶點(diǎn)粒子從第4個(gè)電磁場(chǎng)區(qū)域的上方離開．

點(diǎn)評(píng) 粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一定要注意找出圓心和半徑，進(jìn)而能正確的應(yīng)用好幾何關(guān)系，則可順利求解！