Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點(diǎn)O，可在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端連接一帶電小球P，其質(zhì)量m=2×10^-2 kg，電荷量q=0.2C．將彈簧拉至水平后，以初速度V₀=20m/s豎直向下射出小球P，小球P到達(dá)O點(diǎn)的正下方O₁點(diǎn)時(shí)速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O₁相距R=1.5m，小球P在O₁點(diǎn)與另一由細(xì)繩懸掛的、不帶電的、質(zhì)量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰．碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細(xì)繩，同時(shí)在空間加上豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)E和垂直于紙面的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T的弱強(qiáng)磁場(chǎng)．此后，小球P在豎直平面內(nèi)做半徑r=0.5m的圓周運(yùn)動(dòng)．小球P、N均可視為質(zhì)點(diǎn)，小球P的電荷量保持不變，不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s²．那么，
（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈力做功為多少？
（2）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算并比較相關(guān)物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時(shí)刻具有相同的速度．
（3）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時(shí)刻具有相同速度的前提下，請(qǐng)推導(dǎo)出r的表達(dá)式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運(yùn)動(dòng)速度與水平方向的夾角）．

Answer 1

分析：（1）對(duì)小球從水平位置到O₁點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理即可求得彈簧彈力做功；
（2）速度相同，包括大小相等，方向相同．由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場(chǎng)力和重力平衡，在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，可根據(jù)碰撞時(shí)的動(dòng)量守恒，求出N的速度，假設(shè)他們的速度相同，分別計(jì)算時(shí)間，看看時(shí)間能否相等，同時(shí)要注意分情況討論，因?yàn)榇艌?chǎng)的方向沒有說(shuō)明；
（3）因?yàn)榇艌?chǎng)方向沒有說(shuō)明，所以同樣要分情況討論，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間他們速度相同，應(yīng)用（2）中的方程，聯(lián)立方程解出r，同時(shí)要注意圓周運(yùn)動(dòng)的周期性．

解答：解：（1）設(shè)彈簧的彈力做功為W，有：mgR+W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

①
                 代入數(shù)據(jù)，得：W=-2.05J　　　　　　　　　　　②
   （2）由題給條件知，N碰后作平拋運(yùn)動(dòng)，P所受電場(chǎng)力和重力平衡，P帶正電荷．設(shè)P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，
        并令水平向右為正方向，有：mv=±m(xù)v₁+MV③
       而：v1=

Bqr

m

④
       若P、N碰后速度同向時(shí)，計(jì)算可得V＜v₁，這種碰撞不能實(shí)現(xiàn)．P、N碰后瞬時(shí)必為反向運(yùn)動(dòng)．有：V=

mv+Bqr

M

⑤
       P、N速度相同時(shí)，N經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t_N，P經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t_P．設(shè)此時(shí)N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為θ，
             有：cosθ=

V

V1

=

V

v1

⑥
                 gt_N=V₁sinθ=v₁sinθ⑦
              代入數(shù)據(jù)，得：tN=

3

4

s⑧
      對(duì)小球P，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，有：T=

2πm

Bq

⑨
      經(jīng)計(jì)算得：t_N＜T，
     P經(jīng)過(guò)t_P時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角為α，有：tP=

α

2π

T⑩
     當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，P、N的速度相同，如圖可知，有：α₁=π+θ
           聯(lián)立相關(guān)方程得：tP1=

2π

15

s
     比較得，t_N≠t_P1，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻不可能相同．
     當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，P、N的速度相同，同樣由圖，有：a₂=π-θ，
      同上得：tP2=

π

15

，
     比較得，t_N≠t_p2，在此情況下，P、N的速度在同一時(shí)刻也不可能相同．
    （3）當(dāng)B的方向垂直紙面朝外時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同，t_N=t_P=t，
    再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)
    當(dāng)B的方向垂直紙面朝里時(shí)，設(shè)在t時(shí)刻P、N的速度相同t_N=t_P=t，
    同理得：r=

(π-θ)m2g

B2q2sinθ

，
    考慮圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，有：r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)（給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．
答：（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過(guò)程中，其彈力做功為-2.05J；（2）小球P、N碰撞后不能在某一時(shí)刻具有相同的速度；（3）r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)（給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查了帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，涉及到平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，速度相同包括大小相等和方向相同，并且要討論磁場(chǎng)的方向，難度特別大，屬于難題．