Question

5．在游樂節(jié)目中，選手需要借助懸掛在高處的繩飛越到水面的浮臺上，小明和小陽觀看后對此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量m=60kg的指點(diǎn)，選手抓住繩由靜止開始擺動，此事繩與豎直方向夾角α=30°，繩的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m．不考慮空氣阻力和繩的質(zhì)量，浮臺露出水面的高度不計(jì)，水足夠深．取中立加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6 
（1）求選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時對繩拉力的大小F；
（2）若繩長l=2m，選手?jǐn)[到最高點(diǎn)時松手落入手中．設(shè)水碓選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d； 
（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時松手，小明認(rèn)為繩越長，在浮臺上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)，請通過推算說明你的觀點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）選手在擺動過程中，機(jī)械能是守恒的，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律求出運(yùn)動到最低點(diǎn)時的速度．再用牛頓運(yùn)動定律結(jié)合圓周運(yùn)動的向心力求出繩子對選手的拉力，最后用牛頓第三定律求出選手對繩子的拉力F．
（2）對從選手開始下落，到進(jìn)入水后速度為零的過程中，由貫穿整個過程的重力做正功，進(jìn)入水后，浮力和阻力最選手做負(fù)功，選手初末狀態(tài)的動能都為零，用動能定理列式，求出落入水中的深度；
（3）對平拋運(yùn)動沿水平和豎直兩個方向進(jìn)行分解，水平方向上是勻速直線運(yùn)動，豎直方向上時自由落體運(yùn)動，分別列出位移式子，聯(lián)立后進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，得出當(dāng)l=1.5m時，水平方向有最大值．再說明自己的觀點(diǎn)．

解答 解：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)的過程中，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律得：
mgl（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$
在最低點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：F=mg（3-2cosα）=60×10×（3-2×cos53°）N=1080N
由牛頓第三定律可知，人對繩子的拉力：F′=F=1080N；
（2）選手?jǐn)[到右邊最高點(diǎn)時松手，選手將做自由落體運(yùn)動，對整個過程，由動能定理得：
mg（H-lcosα+d）-（f₁+f₂）d=0
解得：d=1.2m
（3）選手從最低點(diǎn)松手后開始做平拋運(yùn)動
在水平方向：x=vt，
豎直方向：H-l=$\frac{1}{2}$gt²，
由第1題有：v=$\sqrt{2gl（1-cosα）}$
聯(lián)立得：x=2$\sqrt{l（H-l）（1-cos53°）}$
根據(jù)數(shù)學(xué)知識可知當(dāng)l=H-l時，x有最大值，則此時l=$\frac{H}{2}$=1.5m
因此，兩人的看法均不正確．當(dāng)繩長越接近1.5m 時，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．
答：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時對繩拉力的大小是1080N．
（2）選手?jǐn)[到右邊最高點(diǎn)時松手，選手將做自由落體運(yùn)動，選手落入水中的深度d是1.2m；
（3）兩人的看法均不正確．當(dāng)繩長越接近1.5m 時，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．

點(diǎn)評 本題考查到了圓周運(yùn)動向心力、平拋運(yùn)動規(guī)律及求極值問題．解答第一問時，一定注意要求的是選手對繩子的拉力．解題過程中是對選手進(jìn)行受力分析的，故不要忘記應(yīng)用牛頓第三定律．關(guān)于物理當(dāng)中的極值問題，要會熟練的對式子進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，從而得出結(jié)論．