Question

（12分）如果質(zhì)點所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，即F=-kx，其中k是由系統(tǒng)本身特性決定的線性回復(fù)力常數(shù)，那么質(zhì)點的運動就是簡諧運動。

（1）圖1所示為一理想單擺，擺球的質(zhì)量為m，擺長為L。重力加速度為g。請通過計算說明該單擺做簡諧運動的線性回復(fù)力常數(shù)k=?

（2）單擺做簡諧運動的過程中，由于偏角很小，因此可以認(rèn)為擺球沿水平直線運動。

如圖2所示，質(zhì)量為m的擺球在回復(fù)力F=-kx作用下沿水平的x軸做簡諧運動，若振幅為A，在平衡位置O點的速度為vm，試證明：。

（3）如圖3所示，兩個相同的理想單擺均懸掛在P點。將B球向左拉開很小的一段距離由靜止釋放，B球沿水平的x軸運動，在平衡位置O點與靜止的C球發(fā)生對心碰撞，碰撞后B、C粘在一起向右運動。已知擺球的質(zhì)量為m，擺長為L。釋放B球時的位置到O點的距離為d。重力加速度為g。求B、C碰撞后它們沿x軸正方向運動的最大距離。

Answer 1

（1）（2）見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）如答圖3所示，以平衡位置O點為坐標(biāo)原點，沿水平方向建立x軸。

設(shè)當(dāng)偏角為θ時，位移為x。

重力垂直繩方向的分力提供回復(fù)力

當(dāng)θ很小時

可得

所以

（2）單擺做簡諧運動的過程中，只有線性回復(fù)力做功。

擺球從最大位移處運動到平衡位置的過程中，由動能定理

其中

所以

（3）B球向O點運動的過程中

B、C碰撞過程中動量守恒

B、C從O點向右運動的過程中

其中

可得

考點：動能定理，動量守恒定律