Question

12．如圖甲所示，直角坐標(biāo)系xoy中，第二象限內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第一、四象限內(nèi)有垂直坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)交變磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外為正方向．第三象限內(nèi)有一發(fā)射裝置（沒(méi)有畫出）沿y軸正方向射出一個(gè)比荷$\frac{q}{m}$=100C/kg的帶正電的粒子（可視為質(zhì)點(diǎn)且不計(jì)重力），該粒子以v₀=20m/s的速度從x軸上的點(diǎn)A（-2m，0）進(jìn)入第二象限，從y軸上的點(diǎn)C（0，4m）進(jìn)入第一象限．取粒子剛進(jìn)入第一象限的時(shí)刻為0時(shí)刻，第一、四象限內(nèi)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度按圖乙所示規(guī)律變化．g=10m/s²．

（1）求第二象限內(nèi)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大��；
（2）求粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位移求得加速度，進(jìn)而求得電場(chǎng)強(qiáng)度；
（2）分析粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由知道等腰三角形的內(nèi)底角及腰長(zhǎng)求得底邊邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得位置坐標(biāo)．

解答 （1）帶電粒子在第二象限的電場(chǎng)中只受電場(chǎng)力，且電場(chǎng)力方向與初速度方向垂直，所以，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)；
粒子從A點(diǎn)到C點(diǎn)用時(shí)$t=\frac{OC}{{v}_{0}}=\frac{4}{20}s=\frac{1}{5}s$，；
粒子在水平方向上有$a=\frac{qE}{m}$，所以，$OA=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，則有$E=\frac{m}{q}a=\frac{m}{q}\frac{2OA}{{t}^{2}}=\frac{2×2}{100×（\frac{1}{5}）^{2}}N/C=1N/C$；
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v，則其豎直分量v_y=v₀=20m/s，水平分量${v}_{x}=at=\frac{qE}{m}t=20m/s$；
所以，$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=20\sqrt{2}m/s$，v與y軸正方向的夾角為45°；
在洛倫茲力作向心力的作用下，$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，粒子在磁場(chǎng)中的做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{20\sqrt{2}}{100×0.4}m=\frac{\sqrt{2}}{2}m$；
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{π}{20}s$，所以，由圖乙可知，粒子每運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓周則偏轉(zhuǎn)方向相反，
則粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)如圖所示，，
因?yàn)?4\sqrt{2}=8R$，所以粒子運(yùn)動(dòng)第四個(gè)半圓的過(guò)程中第一次經(jīng)過(guò)x軸，由等腰三角形性質(zhì)可知，粒子第一、二次經(jīng)過(guò)x軸，在x軸上對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)為$\sqrt{2}r=1m$；
所以O(shè)D=3m，則粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為（3m，0）．
答：（1）第二象限內(nèi)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為1N/C；
（2）粒子第一次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為（3m，0）．

點(diǎn)評(píng) 在粒子的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題上，要將粒子運(yùn)動(dòng)軌跡盡可能畫出來(lái)以減少問(wèn)題的難度，如本題若沒(méi)有畫圖，則易認(rèn)為粒子經(jīng)過(guò)4個(gè)半圓后第一次與x軸相交．