Question

如圖所示（甲），一輛汽車(chē)車(chē)廂右端放一質(zhì)量為m的木箱（可視為質(zhì)點(diǎn)），汽車(chē)車(chē)廂底板總長(zhǎng)L=9m，汽車(chē)車(chē)廂底板距離地面的高度H=5m，木箱與汽車(chē)車(chē)廂底板間的動(dòng)摩擦因數(shù)?=0.4，最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力，取g=10m/s²（計(jì)算結(jié)果保留三位有效數(shù)字）．

（1）若汽車(chē)從靜止開(kāi)始啟動(dòng)，為了保證啟動(dòng)過(guò)程中木箱和汽車(chē)車(chē)廂底板間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求汽車(chē)的最大加速度a；
（2）若汽車(chē)由靜止開(kāi)始以a₀=6m/s²的加速度勻加速行駛，求木箱落到地面上時(shí)距離車(chē)廂左端的水平距離（木箱離開(kāi)車(chē)廂后豎直方向?yàn)樽杂陕潴w）；
（3）若汽車(chē)從靜止開(kāi)始一直以（2）中加速度加速運(yùn)動(dòng)，為了防止木箱從車(chē)廂左端滑出，在車(chē)廂左端處安裝一只長(zhǎng)度可忽略的輕彈簧（如圖乙所示），此時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)并被鎖定．每次當(dāng)木箱滑至左端與彈簧發(fā)生碰撞時(shí)，彈簧都將自動(dòng)解鎖，并都以碰前瞬間木箱速率（相對(duì)于車(chē)）的2倍速率（相對(duì)于車(chē)）將木箱彈出，同時(shí)又將彈簧壓縮并重新鎖定．如此反復(fù)，通過(guò)多次碰撞最終使木箱靜止于車(chē)廂內(nèi)，試求木箱在車(chē)廂內(nèi)滑行的總路程．
（已知：當(dāng)0＜A＜1，n→+∞時(shí)，A+A2+A3+K+An=

A

1-A

；）

Answer 1

分析：（1）木箱和汽車(chē)車(chē)廂底板間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，靜摩擦力達(dá)到最大，由牛頓第二定律求解最大加速度a．
（2）汽車(chē)由靜止開(kāi)始以a₀加速度勻加速行駛時(shí)，木箱相對(duì)于地向右做勻加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩者的位移之差L時(shí)，木箱離開(kāi)汽車(chē)，由L=

1

2

a0t2-

1

2

at2求出時(shí)間，由v=at求出木箱離開(kāi)汽車(chē)時(shí)的速度大�。�木箱離開(kāi)車(chē)廂后做平拋運(yùn)動(dòng)，由高度求出時(shí)間，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程中木箱的水平位移和汽車(chē)通過(guò)的位移，由位移關(guān)系求解木箱落到地面上時(shí)距離車(chē)廂左端的水平距離．
（3）當(dāng)木箱相對(duì)于車(chē)向左滑動(dòng)時(shí)相對(duì)于車(chē)的加速度大小為a_相=a₀-a₀=2m/s²，設(shè)木箱滑到車(chē)廂的左端時(shí)相對(duì)車(chē)的速度為v₁，

v

2 1

=2a相L．彈簧將木箱彈出時(shí)，木箱相對(duì)于車(chē)向右滑動(dòng)時(shí)，木箱相對(duì)于車(chē)廂的加速度大小為a_相′=a+a₀=10m/s²，木箱相對(duì)于車(chē)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)向右滑行至距離左端L₁處停止，有（2v₁）²=2a_相′L₁．可得，L₁=0.8L．用同樣的方法得到木箱第n次與彈簧碰撞后向右滑行的距離為L(zhǎng)_n．即可得到木箱在車(chē)廂內(nèi)滑行的總路程．

解答：解：（1）木箱和車(chē)廂恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，加速度最大，則由根據(jù)牛頓第二定律得
   μmg=ma
解得，a=μg=4m/s²．
（2）設(shè)木箱在車(chē)廂上滑動(dòng)的時(shí)間為t，則有
  L=

1

2

a0t2-

1

2

at2
得 t=

2L a0-a

=3s
木箱離開(kāi)汽車(chē)時(shí)的速度大小為v=at=12m/s，汽車(chē)此時(shí)的速度為V=a₀t=18m/s
木箱離開(kāi)車(chē)廂后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  H=

1

2

gt′2
解得，t′=1s
所以s=（Vt′+

1

2

a0t′2）-vt′=9m
（3）當(dāng)木箱相對(duì)于車(chē)向左滑動(dòng)時(shí)相對(duì)于車(chē)的加速度大小為a_相=a₀-a₀=2m/s²，
設(shè)木箱滑到車(chē)廂的左端時(shí)相對(duì)車(chē)的速度為v₁．
由

v

2 1

=2a相L  ①
彈簧將木箱彈出時(shí)，木箱相對(duì)于車(chē)向右滑動(dòng)時(shí)，木箱相對(duì)于車(chē)廂的加速度大小為
 a_相′=a+a₀=10m/s²，木箱相對(duì)于車(chē)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)向右滑行至距離左端L₁處停止，則有
   （2v₁）²=2a_相′L₁   ②
由①②得，L₁=0.8L
設(shè)第二次碰到彈簧前的速度大小為v₂，則有
 

v

2 2

=2a相L1  ③
設(shè)第二次向右滑行至距離左端L₂處停止，則有
(2v2)2=2a_相′L₂   ④
由③④得，L₂=0.8L₁=0.8²L
  …
根據(jù)遞推規(guī)律可知，設(shè)木箱第n次與彈簧碰撞后向右滑行的距離為L(zhǎng)_n．
 Ln=(0.8)nL
故木箱在車(chē)廂內(nèi)滑行的總路程為
 S=L+2×0.8L+2×0.8²L+…+2（0.8）ⁿL
其中n→∞
由題意知，S=L+2

0.8

1-0.8

L=9L=81m．
答：
（1）汽車(chē)的最大加速度a是4m/s²；
（2）木箱落到地面上時(shí)距離車(chē)廂左端的水平距離是9m．
（3）木箱在車(chē)廂內(nèi)滑行的總路程是81m．

點(diǎn)評(píng)：本題是有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，運(yùn)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決這類問(wèn)題是基本方法．第3問(wèn)根據(jù)相對(duì)加速度和相對(duì)速度，求解相對(duì)位移，尋找規(guī)律，得到總路程．