Question

如圖所示，兩個圓形光滑細(xì)管在豎直平面內(nèi)交疊，組成“8”字形通道，在“8”字形通道底端B處連接一內(nèi)徑相同的粗糙水平直管AB。已知E處距地面的高度h=3.2m，一質(zhì)量m=1kg的小球a從A點以速度v₀=12m/s的速度向右運動進(jìn)入直管道，到達(dá)B點后沿“8”字形軌道向上運動，到達(dá)D點時恰好與軌道無作用力，直接進(jìn)入DE管（DE管光滑），并與原來靜止于E處的質(zhì)量為M=4kg的小球b發(fā)生正碰（ab均可視為質(zhì)點）。已知碰撞后a球沿原路返回，速度大小為碰撞前速度大小的，而b球從E點水平拋出，其水平射程s=0.8m。（取g=10m/s²）

（1）求碰后b球的速度大��；

（2）求“8”字形管道上下兩圓的半徑r和R；

（3）若小球a在管道AB中運動時所受阻力為定值，請判斷a球返回到BA管道時，能否從A端穿出。

 

Answer 1

解：（1）b球離開DE后做平拋運動

豎直方向： h=gt²                      （1分）

水平方向：s=v_bt                        （1分）

         解得：v_b=1m/s                          （1分）

（2）a、b碰撞過程，動量守恒，以水平向右為正方向，有：

mv_a=-m+Mv_b               （2分）

解得：v_a=3m/s           （1分）

碰前a在D處恰好與軌道無作用力，滿足：mg=m     （2分）

解得：r = 0.9m                     （1分）

由幾何關(guān)系有：h=2R+2r                     （1分）

解得：R==0.7m                （1分）

（3）小球a從B到D，由動能定理有：-mgh=mv－mv      （1分）

設(shè)小球a從A到B，克服摩擦阻力做功為W_f，則由動能定理有：

-W_f = mv－mv                   （1分）

解得：W_f =35.5J                     （1分）

小球a從D返回到B，由動能定理有：mgh= m(v_B′)²－m()²  （2分）

解得：m(v_B′)²=32.5J < W_f          （1分）

所以，a球返回到BA管道時，不能從A端穿出.         （1分）

其它判斷方法，正確的同樣給分，例如：

假設(shè)a球返回到BA管道時，能從A端穿出，穿出時的速度大小為v₀′，由動能定理有：

-W_f =  m(v₀′)²－m(v_B′)²          

解得：m(v₀′)²=-3J               

所以，a球返回到BA管道時，不能從A端穿出.