Question

【題目】用靜電的方法來(lái)清除空氣中的灰塵，需要首先設(shè)法使空氣中的灰塵帶上一定的電荷，然后利用靜電場(chǎng)對(duì)電荷的作用力，使灰塵運(yùn)動(dòng)到指定的區(qū)域進(jìn)行收集。為簡(jiǎn)化計(jì)算，可認(rèn)為每個(gè)灰塵顆粒的質(zhì)量及其所帶電荷量均相同，設(shè)每個(gè)灰塵所帶電荷量為q，其所受空氣阻力與其速度大小成正比，表達(dá)式為F阻=kv（式中k為大于0的已知常量）。由于灰塵顆粒的質(zhì)量較小，為簡(jiǎn)化計(jì)算，灰塵顆粒在空氣中受電場(chǎng)力作用后達(dá)到電場(chǎng)力與空氣阻力相等的過(guò)程所用的時(shí)間及通過(guò)的位移均可忽略不計(jì)，同時(shí)也不計(jì)灰塵顆粒之間的作用力及灰塵所受重力的影響。

（1）有一種靜電除塵的設(shè)計(jì)方案是這樣的，需要除塵的空間是一個(gè)高為H的絕緣圓桶形容器的內(nèi)部區(qū)域，將一對(duì)與圓桶半徑相等的圓形薄金屬板平行置于圓桶的上、下兩端，恰好能將圓桶封閉，如圖10甲所示。在圓桶上、下兩金屬板間加上恒定的電壓U（圓桶內(nèi)空間的電場(chǎng)可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)），便可以在一段時(shí)間內(nèi)將圓桶區(qū)域內(nèi)的帶電灰塵顆粒完全吸附在金屬板上，從而達(dá)到除塵的作用。求灰塵顆粒運(yùn)動(dòng)可達(dá)到的最大速率 __________；

（2）對(duì)于一個(gè)待除塵的半徑為R的絕緣圓桶形容器內(nèi)部區(qū)域，還可以設(shè)計(jì)另一種靜電除塵的方案：沿圓桶的軸線有一根細(xì)直導(dǎo)線作為電極，緊貼圓桶內(nèi)壁加一個(gè)薄金屬桶作為另一電極。在直導(dǎo)線電極外面套有一個(gè)由絕緣材料制成的半徑為R0的圓桶形保護(hù)管，其軸線與直導(dǎo)線重合，如圖10乙所示。若在兩電極間加上恒定的電壓，使得桶壁處電場(chǎng)強(qiáng)度的大小恰好等于第（1）問(wèn)的方案中圓桶內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，且已知此方案中沿圓桶半徑方向電場(chǎng)強(qiáng)度大小E的分布情況為E∝1/r，式中r為所研究的點(diǎn)與直導(dǎo)線的距離。

①試通過(guò)計(jì)算分析，帶電灰塵顆粒從保護(hù)管外壁運(yùn)動(dòng)到圓桶內(nèi)壁的過(guò)程中，其瞬時(shí)速度大小v隨其與直導(dǎo)線的距離r之間的關(guān)系________；

②對(duì)于直線運(yùn)動(dòng)，教科書(shū)中講解了由v - t圖象下的面積求位移的方法。請(qǐng)你借鑒此方法，利用v隨r變化的關(guān)系，畫(huà)出1/v隨r變化的圖象，根據(jù)圖象的面積求出帶電灰塵顆粒從保護(hù)管外壁運(yùn)動(dòng)到圓桶內(nèi)壁的時(shí)間____________。

Answer 1

【答案】

【解析】（1）圓桶形容器內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度 灰塵顆粒所受的電場(chǎng)力大小 ，

電場(chǎng)力跟空氣的阻力相平衡時(shí)，灰塵達(dá)到的最大速度，并設(shè)為v1，

則有

解得

（2）①由于灰塵顆粒所在處的電場(chǎng)強(qiáng)度隨其與直導(dǎo)線距離的增大而減小，且桶壁處的電場(chǎng)強(qiáng)度為第（1）問(wèn)方案中場(chǎng)強(qiáng)的大小E1=U/H，設(shè)在距直導(dǎo)線為r處的場(chǎng)強(qiáng)大小為E2，

則，解得E2=

故與直導(dǎo)線越近處，電場(chǎng)強(qiáng)度越大。設(shè)灰塵顆粒運(yùn)動(dòng)到與直導(dǎo)線距離為r時(shí)的速度為v，則 kv=qE2

解得

上式表明，灰塵微粒在向圓桶內(nèi)壁運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，速度是逐漸減小的。

②以r為橫軸，以1/v為縱軸，作出1/v-r的圖象如圖所示。

在r到r+Δr微小距離內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度可視為相同，其速度v可視為相同，對(duì)應(yīng)于Δr的一段1/v-r的圖線下的面積為，顯然，這個(gè)小矩形的面積等于灰塵微粒通過(guò)Δr的時(shí)間。所以，灰塵微粒從保護(hù)管外壁運(yùn)動(dòng)到圓桶內(nèi)壁所需的總時(shí)間t2等于從R0到R一段1/v-r的圖線下的面積。

所以灰塵顆粒從保護(hù)管外壁運(yùn)動(dòng)到圓桶內(nèi)壁的時(shí)間：