Question

如圖所示，豎直放置的金屬薄板M、N間距為d．絕緣水平直桿左端從N板中央的小孔穿過(guò)，與M板固接，右端處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．質(zhì)量為m、帶電量為+q的中空小球P，套在水平直桿上，緊靠M板放置，與桿的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．當(dāng)在M、N板間加上適當(dāng)?shù)碾妷篣后，P球?qū)⒀厮�平直桿從N板小孔射出，試問(wèn)：
（1）此時(shí)M、N哪個(gè)板的電勢(shì)高？它們間的電勢(shì)差必須大于多少？
（2）若M、N間電壓U=5μmgd/q時(shí)，小球能沿水平直桿從N板中央小孔射入磁場(chǎng)，則射入的速率多大？若磁場(chǎng)足夠大，水平直桿足夠長(zhǎng)，則小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，摩擦力對(duì)小球做多少功？

Answer 1

分析：（1）力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因，使靜止的物體運(yùn)動(dòng)，要產(chǎn)生加速度，即物體的合外力不等于零；
（2）電場(chǎng)的基本性質(zhì)是對(duì)放入其中的帶電體有力的作用；
（3）小球P射入磁場(chǎng)后受到豎直向上的洛倫茲力作用，并且洛倫茲力對(duì)小球不做功；
（4）進(jìn)入磁場(chǎng)后，速度在摩擦力作用下會(huì)減小，引起洛倫茲力減小，引起正壓力變化，從而會(huì)引起摩擦力發(fā)生改變，要注意分情況具體分析；
（5）關(guān)于變力做功，可用動(dòng)能定理去求，簡(jiǎn)潔方便．

解答：解：（1）因P球帶正電，只有M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)，P球才會(huì)受到向右的電場(chǎng)力作用．才有可能向右運(yùn)動(dòng)．
        故，若要小球P沿水平直桿從板間射出，必須使M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)．  
　　    而要使小球P能沿水平直桿從板間射出，必須使電場(chǎng)力大于小球所受的摩擦力，即
             qE＞μmg  而E=

U

d

             故U＞

μmgd

q

    （2）設(shè)P球射出電場(chǎng)時(shí)的速率為v，由動(dòng)能定理得：
            qU-μmgd=

1

2

mv2-0
      
       即   q

5μmgd

q

-μmgd=

1

2

mv2
       解得：v=2

2μgd

     小球P射入磁場(chǎng)后受到豎直向上的洛倫茲力作用，可能出現(xiàn)三種情況．
Ⅰ．qvB=mg，則小球不受摩擦力，做勻速直線運(yùn)動(dòng)．故摩擦力做功為零．
Ⅱ．qvB＞mg，則直桿對(duì)小球有向下的壓力，小球受摩擦力減速，當(dāng)減速到洛侖茲力與重力大小相等后做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)小球勻速時(shí)的速度v_t，則qv_tB=mg
       設(shè)此過(guò)程中摩擦力做的功為W，由動(dòng)能定理得：W=

1

2

mvt2-

1

2

mv2         
        即W=

1

2

m(

mg

qB

)2-

1

2

m(2

2μgd

)2解得：W=

m3g2

2q2B2

-4mμgd
Ⅲ．qvB＜mg，則直桿對(duì)小球有向上的支持力，小球受摩擦力減速，最終速度減為零． 則摩擦力所做的功為
            W=0-

1

2

mv2
         解得：W=-4μmgd
答：M板電勢(shì)高于N板電勢(shì)，它們間的電勢(shì)必須大于

μmgd

q

；（2）射入的速率為2

2μgd

，當(dāng)qvB=mg時(shí)，摩擦力做功為零，
當(dāng)qvB＞mg時(shí)，摩擦力做功為

m3g2

2q2B2

- 4mμgd，當(dāng)qvB＜mg時(shí)，摩擦力做的功為-4μmgd．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁學(xué)的綜合問(wèn)題，涉及到得知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大．特別是第二小問(wèn)中有三種情況，很多同學(xué)只能分析其中的一種或兩種，出現(xiàn)遺漏情況．
要注意本題中小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的摩擦力是一個(gè)變力，求變力做功一般用動(dòng)能定理求解．