Question

11．如圖所示，一飛機(jī)從A處向北飛到B處，然后又向南飛回A處，若飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度v保持不變，而A與B之間距離為l，試證在空氣相對(duì)于地面的速度u為下述幾種情況時(shí)，飛機(jī)往返一次的時(shí)間分別由下述的式子所表示，即
（1）若u=0，即空氣靜止，往返時(shí)間t₀=$\frac{2l}{v}$；
（2）u≠0，但方向由南向北，往返時(shí)間t₁=$\frac{{t}_{0}}{（1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}）}$；
（3）u≠0，方向由東向西，往返時(shí)間t₂=$\frac{{t}_{0}}{\sqrt{1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平行四邊形定則分別求出往返的速度大小，結(jié)合位移的大小求出往返的總時(shí)間．

解答 證明：（1）若u=0，即空氣靜止，則A到B與B到A的時(shí)間是相等的，都是：$t=\frac{l}{v}$
所以往返時(shí)間：t₀=$\frac{2l}{v}$；
（2）u≠0，但方向由南向北，則從A到B時(shí)，飛機(jī)的速度與風(fēng)的速度方向相同，合速度為二者的和，所以A到B的時(shí)間：
${t}_{11}=\frac{l}{v+u}$
從B到A時(shí)，飛機(jī)的速度與風(fēng)的速度方向相反，合速度為二者的差，所以B到A的時(shí)間：
${t}_{12}=\frac{l}{v-u}$
往返時(shí)間t₁=t₁₁+t₁₂=$\frac{l}{v+u}+\frac{l}{v-u}$=$\frac{2vl}{{v}^{2}-{u}^{2}}$=$\frac{{t}_{0}}{（1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}）}$；
（3）風(fēng)速u≠0，方向由東向西，飛機(jī)在往返時(shí)速度方向與AB連線之間由一定的夾角，飛機(jī)沿垂直于AB方向分速度與風(fēng)的速度是相等的，即：
v•sinθ=u
所以飛機(jī)沿AB方向的分速度：
${v}_{AB}=v•cosθ=v•\sqrt{1-si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{{v}^{2}-{u}^{2}}$
到B與B到A的時(shí)間是相等的，都是：$t′=\frac{l}{{v}_{AB}}=\frac{l}{\sqrt{{v}^{2}-{u}^{2}}}$
所以飛機(jī)往返的時(shí)間：${t}_{2}=2t′=\frac{2l}{\sqrt{{v}^{2}-{u}^{2}}}=\frac{{t}_{0}}{\sqrt{1-\frac{{u}^{2}}{{v}^{2}}}}$
證畢．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勻速直線運(yùn)動(dòng)位移公式的運(yùn)用，難點(diǎn)在于速度的合成，得出往返時(shí)合速度的大小．