Question

（2010?如皋市模擬）如圖所示，質(zhì)量為M的長(zhǎng)滑塊靜止在光滑水平地面上，左端固定一勁度系數(shù)為k足夠長(zhǎng)的水平輕質(zhì)彈簧，右側(cè)用一不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連接于豎直墻上，細(xì)繩所能承受的最大拉力為FT，使一質(zhì)量為m、初速度為Vo的小物體，在滑塊上無摩擦地向左滑動(dòng)而后壓縮彈簧，已知彈簧的彈性勢(shì)能表達(dá)式為E_p=kx²*1/2（k為彈簧的勁度系數(shù)，x為彈簧的形變量）．
（1）請(qǐng)給出細(xì)繩被拉斷的條件．
（2）若小物體最后離開滑塊時(shí)，相對(duì)地面速度恰好為零，那么m與M間應(yīng)滿足什么關(guān)系？（不考慮繩斷裂時(shí)損失的能量）

Answer 1

分析：（1）假設(shè)繩子不斷，當(dāng)滑塊速度減為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，彈力最大，繩子的張力最大，等于彈簧的彈力；然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律和胡克定律列式求解；
（2）滑塊與長(zhǎng)木板分離后，速度恰好為零，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律列式后聯(lián)立求解即可．

解答：解：（1）設(shè)彈簧壓縮量為x₁時(shí)繩被拉斷：知
kx₁=F_T
從初始狀態(tài)到壓縮繩被拉斷的過程中，

1

2

kx

2 1

≤

1

2

mv

2 0

故細(xì)繩被拉斷的條件為 v₀≥

FT

km

（2）設(shè)繩被拉斷瞬間，小物體的速度為v₁，
對(duì)小物體與彈簧在此過程中機(jī)械能守恒，有

1

2

kx

2 1

+

1

2

mv

2 1

=

1

2

mv

2 0

設(shè)小物體離開時(shí)，滑塊M速度為v，
對(duì)M、m系統(tǒng)，在繩斷后相對(duì)滑動(dòng)過程中動(dòng)量守恒 可知：mv₁=Mv
m-M=

F 2 T

kv 2 0

對(duì)系統(tǒng)在全過程中由能量守恒可知：

1

2

mv

2 0

=

1

2

Mv

2

聯(lián)立可得：m＞M．
所以小物體最后離開滑塊時(shí)，相對(duì)地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=

F 2 T

kv 2 0

答：（1）細(xì)繩被拉斷的條件為 v₀≥

FT

km

．
（2）小物體最后離開滑塊時(shí)，相對(duì)地面速度恰好為零的條件是m＞M且滿足m-M=

F 2 T

kv 2 0

．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要分析清楚滑塊和滑板的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，能結(jié)合機(jī)械能守恒定律和動(dòng)量守恒定律多次列式后聯(lián)立分析，較難．