Question

1．如圖所示，兩足夠長平行光滑的金屬導軌MN、PQ間距為L，導軌所在平面與水平面夾角為α=30°，導軌電阻不計，磁感應強度大小為B=1T的勻強磁場垂直導軌所在平面斜向上，長為L=1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m=0.2kg、電阻R₀=1Ω．兩金屬導軌的上端連接電路，定值電阻R₁=3Ω，R₂=6Ω．重力加速度取g=10m/s²，閉合開關(guān)S，觀察金屬棒由靜止釋放．求：
（1）金屬棒下滑的最大速度v_m；
（2）當金屬棒下滑距離為s=2m時速度恰好達到最大，此過程中電阻R₁上產(chǎn)生的電熱；
（3）金屬棒由靜止釋放到加速到最大速度經(jīng)歷的時間．

Answer 1

分析 （1）金屬棒ab先加速下滑，所受的安培力增大，加速度減小，后勻速下滑，速度達到最大．由閉合電路歐姆定律、感應電動勢和安培力公式推導出安培力的表達式，根據(jù)平衡條件求解最大速度．
（2）當金屬棒下滑直到速度達到最大的過程中，金屬棒的機械能減小轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，根據(jù)能量守恒定律求解電熱．
（3）金屬棒由靜止釋放到加速到最大速度的過程中通過導體棒的電量是q=$\overline{I}t$，求出電量，結(jié)合導體棒動量的改變是$△P=mgsinθ•t+B\overline{I}L•t$即可求出時間．

解答 解：（1）當金屬棒勻速下滑時速度最大，設(shè)最大速度為v_m，達到最大時，則根據(jù)平衡條件有
  mgsinθ=F_安                                             
又 F_安=ILB，I=$\frac{{E}_{m}}{{R}_{總}}=\frac{BL{v}_{m}}{{R}_{總}}$                                           
R_總=R₀+$\frac{{R}_{2}{R}_{3}}{{R}_{2}+{R}_{3}}=1+\frac{3×6}{3+6}=3Ω$                                                 
聯(lián)立解得最大速度：${v}_{m}=\frac{mgsinθ•{R}_{總}}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.2×10×sin30°×3}{{1}^{2}×{1}^{2}}m/s=3$m/s
（2）設(shè)整個電路中產(chǎn)生的熱量為Q，由能量守恒知，mg•Ssinα=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
代入上面的v_m值，可得：Q=$mgS•sin30°-\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}=0.2×10×2×\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×0.2×{3}^{2}=1.1$J
串聯(lián)電路中，某電阻消耗的功率與電阻值成正比，所以R₀產(chǎn)生的熱量：${Q}_{0}=\frac{{R}_{0}}{{R}_{總}}•Q=\frac{1}{3}×1.1=\frac{1.1}{3}$J
R₁與R₂產(chǎn)生的熱量：$Q′=Q-{Q}_{0}=1.1-\frac{1.1}{3}=\frac{1.9}{3}$J
并聯(lián)電路中某電阻消耗的功率與電阻值成反比，$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}$所以R₁產(chǎn)生的熱量：${Q}_{1}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}•Q′=\frac{6}{3+6}×\frac{1.9}{3}=\frac{3.8}{9}≈0.42$J
（3）金屬棒由靜止釋放到加速到最大速度的過程中通過導體棒的電量是$q=\overline{I}△t$，
而：$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{{R}_{總}}$
$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}=\frac{BLS}{△t}$
所以：$q=\frac{BLS}{{R}_{總}}=\frac{1×1×2}{3}=\frac{2}{3}C$
導體棒下滑的過程中只受到重力、支持力和安培力的作用，沿斜面的方向上由動量定理得：
$△mv=mg△t-B\overline{I}L•△t=mgt-BLq$
所以：$△mv=mgsinθ△t-B\overline{I}L•△t=mgsinθ•△t-BLq$
得：$△t=\frac{△mv+BLq}{mgsinθ}=\frac{0.2×3+1×1×\frac{2}{3}}{0.2×10×\frac{1}{2}}=\frac{19}{15}$s
答：（1）金屬棒下滑的最大速度為3m/s；
（2）當金屬棒下滑距離為s=2m時速度恰好達到最大，此過程中電阻R₁上產(chǎn)生的電熱是0.42J；
（3）金屬棒由靜止釋放到加速到最大速度經(jīng)歷的時是$\frac{19}{15}$s．

點評 本題對綜合應用電路知識、電磁感應知識和數(shù)學知識的能力要求較高，但是常規(guī)題，要得全分．