Question

12．如圖所示，在某豎直平面內(nèi)，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點(diǎn)，BC右端連接內(nèi)壁光滑、半徑r=0.2m的四分之一細(xì)圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k=100N/m的輕彈簧，彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小球放在曲面AB上，現(xiàn)從距BC的高度為h=0.55m處靜止釋放小球，它與BC間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，小球進(jìn)入管口C端時(shí)，它對(duì)上管壁有F_N=3.5mg的作用力，通過CD后，在壓縮彈簧過程中滑塊速度最大時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為E_p=0.5J．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）小球第一次通過C點(diǎn)時(shí)的速度大��；
（2）在壓縮彈簧過程中小球的最大動(dòng)能E_km；
（3）小球最終停止的位置．

Answer 1

分析 （1）小球經(jīng)過C端時(shí)，由合力提供向心力，對(duì)小球進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律求小球通過C點(diǎn)的速度大��；
（2）在壓縮彈簧過程中速度最大時(shí)，合力為零，由平衡條件求出彈簧的壓縮量，然后結(jié)合系統(tǒng)的機(jī)械能守恒即可求出小球的最大動(dòng)能；
（3）由功能關(guān)系和C點(diǎn)的向心力的表達(dá)式，即可求出．

解答 解：（1）小球進(jìn)入管口C端時(shí)，對(duì)小球，由牛頓第二定律得：
3.5mg+mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$    
代入數(shù)據(jù)解得：v_C=3m/s
（2）在壓縮彈簧過程中速度最大時(shí)，合力為零．設(shè)此時(shí)滑塊離D端的距離為x₀，則有：
kx₀=mg
代入數(shù)據(jù)解得：x₀=0.1m
對(duì)于小球和彈簧組成的系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒定律有：
mg（r+x₀）+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=E_km+E_p
解得小球的最大動(dòng)能為：E_km=7（J）
（3）滑塊從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得：
mg•h-μmgs=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得BC間距離為：s=0.2m
小球與彈簧作用后返回C處動(dòng)能不變，小滑塊的動(dòng)能最終消耗在與BC水平面相互作用的過程中．設(shè)物塊在BC上的運(yùn)動(dòng)路程為sˊ，由動(dòng)能定理有：
 0-$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=-μmgsˊ
代入數(shù)據(jù)得：sˊ=1.1m
因?yàn)?nbsp;sˊ=5s+0.1m
故最終小滑塊將停在BC的中點(diǎn)
答：（1）小球第一次通過C點(diǎn)時(shí)的速度大小是3m/s；
（2）在壓縮彈簧過程中小球的最大動(dòng)能E_km是7J；
（3）最終小滑塊將停在BC的中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)情況，把握每個(gè)過程的物理規(guī)律，要知道滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)．