Question

7．小明站在水平地面上，手握不可伸長的、長度為L的輕繩一端，繩的另一端系有質(zhì)量為m的小球，甩動手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓周運動．圓心為O點，O點正下方有一點A，OA距離為3L．
（1）如果小球恰好能通過最高點且此時輕繩被剪斷，則小球落地點到A點的水平距離為多少？
（2）以不同的力度甩動手腕，使小球在最低點獲得大小不同的速度，當小球每次運動到最低點B時，繩子被剪斷，小球水平飛出并打到A點右側豎直擋板上，擋板到A點的水平距離為2L，則當小球從B點水平飛出的初速度為多大時，小球打到擋板上的速度最小？在這種情況下，繩子在剪斷前的瞬間受到小球的拉力為多大？
（3）在第（2）問中，小球以最小速度打到擋板上并反彈，碰撞后水平分速度反向，但大小不變，豎直分速度的大小和方向均不變，則小球落地時到A點的水平距離為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球恰好通過最高點的速度，結合平拋運動的高度求出運動的時間，根據(jù)最高點的速度和時間求出平拋運動的水平位移．
（2）根據(jù)平拋運動的規(guī)律，運用運動學公式求出小球打到擋板上的速度表達式，結合數(shù)學不等式求極值的方法求出小球打在擋板上速度最小時的初速度，結合牛頓第二定律求出拉力的大小．
（3）根據(jù)高度，運用位移時間公式求出運動的時間，抓住水平方向上的速度大小不變，結合運動學公式求出水平方向上的路程，從而得出小球落地點到A的水平距離．

解答 解：（1）小球恰好能通過最高點，根據(jù)牛頓第二定律得，$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{L}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{gL}$，
平拋運動的時間$t=\sqrt{\frac{2×4L}{g}}=\sqrt{\frac{8L}{g}}$，
則小球落地點到A點的水平距離x=${v}_{1}t=\sqrt{gL}\sqrt{\frac{8L}{g}}=2\sqrt{2}L$．
（2）設小球從B點飛出時的速度為v₀，
則平拋運動的時間t=$\frac{2L}{{v}_{0}}$，
打到擋板上的豎直分速度${v}_{y}=gt=\frac{2Lg}{{v}_{0}}$，
根據(jù)平行四邊形定則知，打到擋板上的速度v=$\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=\sqrt{{{v}_{0}}^{2}+\frac{4{g}^{2}{L}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}}$．
當${{v}_{0}}^{2}=\frac{4{g}^{2}{L}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}}$時，速度最小，解得${v}_{0}=\sqrt{2gL}$．
根據(jù)牛頓第二定律得，$F-mg=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，
解得拉力F=$mg+m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}=3mg$．
（3）根據(jù)$2L=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，$t=\sqrt{\frac{4L}{g}}$，
則水平方向上運動的路程s=${v}_{0}t=\sqrt{2gL}×\sqrt{\frac{4L}{g}}=2\sqrt{2}L$，
小球落地時到A點的水平距離x=s-2L=$（2\sqrt{2}-2）L$．
答：（1）小球落地點到A點的水平距離為$2\sqrt{2}L$；
（2）當小球從B點水平飛出的初速度為$\sqrt{2gL}$時，小球打到擋板上的速度最小，在這種情況下，繩子在剪斷前的瞬間受到小球的拉力為3mg．
（3）小球落地時到A點的水平距離為$（2\sqrt{2}-2）L$．

點評 本題考查了平拋運動和圓周運動的綜合運用，知道圓周運動向心力的來源以及平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律是解決本題的關鍵，本題第二問對數(shù)學能力的要求較高，通過不等式求極值的方法求解．