Question

如圖，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R=0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點(diǎn)，整個(gè)軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小E=5.0×10³V/m．一不帶電的絕緣小球甲，以速度υ₀沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞．已知乙球的質(zhì)量為m=1.0×10^-2kg，乙所帶電荷量q=2.0×10^-5C，甲球質(zhì)量為乙球質(zhì)量的k倍，g取10m/s²．（水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)電荷轉(zhuǎn)移）
（1）若k=1，且甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D，求甲的速度υ₀；
（2）若k＞1，且甲仍以（1）中的速度υ₀向右運(yùn)動(dòng)，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）由于兩個(gè)球發(fā)生的是彈性碰撞，所以動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，列出方程可以求出甲的速度v₀；
（2）對(duì)乙受力分析，乙離開(kāi)最高點(diǎn)之后，做類平拋運(yùn)動(dòng)，豎直方向上勻加速運(yùn)動(dòng)，水平方向上勻速運(yùn)動(dòng)；乙求經(jīng)過(guò)D點(diǎn)后的最小的速度應(yīng)該是v_D，再由動(dòng)量守恒分析可得最大的速度，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)水平方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，可以求得范圍的大小．

解答：解：（1）在乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)的速度為v_D，乙離開(kāi)D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為t，乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x，則
m

v 2 D

R

=mg+qE               ①
設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，
根據(jù)動(dòng)量守恒有：
  kmv₀=kmv_甲+mv_乙             ②

1

2

km

v

2 0

=

1

2

km

v

2 甲

+

1

2

m

v

2 乙

       ③
聯(lián)立②③得：v乙=

2k

k+1

v0        ④
由k=1，則v_乙=v₀
由動(dòng)能定理得：-mg?2R-qE?2R=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 乙

    ⑤
 聯(lián)立①④⑤得：v0=

5(mg+qE)R m

=2

5

m/s    ⑥
（2）甲、乙完全彈性碰撞，碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，由②③得
解得v乙=

2k

k+1

v0   ⑦
又k＞1，則v₀＜v_乙＜2v₀       ⑧
設(shè)乙球過(guò)D點(diǎn)的速度為v_D′，由動(dòng)能定理得
mg?2R-qE?2R=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 乙

        ⑨
解得：2m/s＜v_D′＜8m/s  ⑩
設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x′，則有：
x′=v_D′t       
2R=

1

2

(

mg+qE

m

)t2                   
聯(lián)立解得：0.4m≤x'＜1.6m
答：（1）甲的速度是v0=2

5

m/s；
（2）乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍是0.4m≤x′＜1.6m．

點(diǎn)評(píng)：在本題中物體不僅受重力的作用，還有電場(chǎng)力，在解題的過(guò)程中，一定要分析清楚物體的受力和運(yùn)動(dòng)過(guò)程，兩球在碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒，碰后機(jī)械能守恒，題目中物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程比較復(fù)雜，在解題是一定分析清楚運(yùn)動(dòng)過(guò)程．