Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直圓面向里、磁感應強度為B的勻強磁場，一粒子源位于圓周上的M點，可向磁場區(qū)域內(nèi)垂直磁場沿各個方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子，不計粒子重力，N為圓周上另一點，半徑OM和ON間的夾角θ，且滿足tan＝0.5.

(1)若某一粒子以速率v1＝沿與MO成60°角斜向上方向射入磁場，求此粒子在磁場中運動的時間；

(2)若某一粒子以速率v2沿MO方向射入磁場，恰能從N點離開磁場，求此粒子的速率v2；

(3)若由M點射入磁場各個方向的所有粒子速率均為v2，求磁場中有粒子通過的區(qū)域面積．

Answer 1

【答案】 (1) (2) (3) πR2－R2

【解析】(1)粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，設軌跡半徑為r1，由牛頓第二定律可得qv1B＝，解得r1＝＝R.

粒子沿與MO成60°角的方向射入磁場，設粒子從區(qū)域邊界P點射出，其運動軌跡如圖所示．由圖中幾何關系可知粒子軌跡所對應的圓心角為α＝150°.

法二：粒子運動周期T＝，

粒子在磁場中的運動的時間t＝T，解得t＝.

(2)粒子以速率v2沿MO方向射入磁場，在磁場中做勻速圓周運動，恰好從N點離開磁場，其運動軌跡如圖所示，設粒子軌跡半徑為r2，由圖中幾何關系可得

r2＝Rtan＝R，

由牛頓第二定律可得

qv2B＝，

解得v2＝.

(3)粒子沿各個方向以v2進入磁場做勻速圓周運動時的軌跡半徑都為r2，且不變．由圖可知，粒子在磁場中通過的面積S等于以O3為圓心的半圓的面積S1、以M為圓心的扇形MOQ的面積S2和以O點為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積S3之和．

S1＝π＝πR2，S2＝πR2，

S3＝πR2－R2，

則S＝S1＋S2＋S3＝πR2－R2