Question

13．如圖，一半徑為R、粗糙程度處處相同的半圓形軌道如圖放置，三點(diǎn)POQ水平．一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自P點(diǎn)上方高度R處由靜止開(kāi)始下落，恰好從P點(diǎn)進(jìn)入軌道，質(zhì)點(diǎn)滑到軌道最低點(diǎn)N時(shí)，對(duì)軌道的壓力為F_N，g為重力加速度的大小，用W表示質(zhì)點(diǎn)從P運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功，若質(zhì)點(diǎn)恰好能到達(dá)Q點(diǎn)，則（　�。�

• A． W=$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N=4mg
• B． W＞$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N＜4mg
• C． W＞$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N＞4mg
• D． W＜$\frac{1}{2}$mgR，F(xiàn)_N＞4mg

Answer 1

分析 對(duì)全過(guò)程根據(jù)動(dòng)能定理求出在整個(gè)軌道上克服摩擦力做的功，根據(jù)抓住NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功，即可得質(zhì)點(diǎn)從P運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中克服摩擦力所做的功W的大小范圍；從釋放到N點(diǎn)由動(dòng)能定理列式結(jié)合N點(diǎn)的向心力方程，可求出在N點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力為F_N

解答 解：從釋放點(diǎn)到Q點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理得：$mgR-{W}_{克f}^{\;}=0-0$
解得：${W}_{克f}^{\;}=mgR$
質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程半徑方向的合力提供向心力即${F}_{N}^{\;}-mgsinθ=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，根據(jù)左右對(duì)稱(chēng)，在同一高度，由于摩擦力做功導(dǎo)致右半幅的速度小，軌道彈力變小，滑動(dòng)摩擦力$f=μ{F}_{N}^{\;}$變小，所以摩擦力做功變小，所以在軌道的左半幅克服摩擦力做功$W＞\frac{1}{2}mgR$
從釋放點(diǎn)到N點(diǎn)根據(jù)動(dòng)能定理，有
$mg•2R-W=\frac{1}{2}m{v}_{N}^{2}-0$
得${v}_{N}^{\;}＜\sqrt{3gR}$
最低點(diǎn)N點(diǎn)：${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$
解得：${F}_{N}^{\;}＜4mg$，故B正確，ACD錯(cuò)誤；
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道在最低點(diǎn)，靠重力和支持力的合力提供向心力，注意在NQ段克服摩擦力做功小于在PN段克服摩擦力做功．