Question

12．如圖所示，在xOy平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第二象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．從x軸上坐標(biāo)為（L，0）的點(diǎn)M，沿xOy平面向第一象限內(nèi)同時(shí)發(fā)射若干個(gè)質(zhì)量均為m、電荷量均為+q的同種粒子．粒子速度大小不等，方向與x軸正方向成45°～135°．粒子經(jīng)過(guò)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都垂直射到y(tǒng)軸上，然后進(jìn)入第二象限，粒子重力不計(jì)．求：
（1）y軸上有粒子穿過(guò)的區(qū)間長(zhǎng)度；
（2）最先與最后穿過(guò)y軸的粒子的時(shí)間間隔；
（3）若發(fā)射速度最小的粒子再次回到x軸時(shí)的速度大小恰好等于發(fā)射速度最大的粒子的發(fā)射速度，勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，確定圓心，定出半徑，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，并得到y(tǒng)軸上有粒子穿過(guò)的區(qū)間長(zhǎng)度．
（2）根據(jù)軌跡的圓心角求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，即可求得時(shí)間間隔．
（3）粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理和半徑公式結(jié)合求解電場(chǎng)強(qiáng)度．

解答 解：（1）畫出速度最大的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，分別如圖中藍(lán)線和紅線所示，設(shè)它們的半徑分別為r₁和r₂．
根據(jù)幾何知識(shí)得：r₁=r₂=$\sqrt{2}$L
粒子射到y(tǒng)軸上離O最遠(yuǎn)的點(diǎn)為D，則OD=r₂+L=（$\sqrt{2}$+1）L
粒子射到y(tǒng)軸上離O最近的點(diǎn)為C，則OC=r₁-L=（$\sqrt{2}$-1）L
故y軸上有粒子穿過(guò)的區(qū)間長(zhǎng)度為 S=OD-OC=2L．
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為 T=$\frac{2πm}{qB}$
從C射到電場(chǎng)的粒子最先穿過(guò)y軸，它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₁=$\frac{45°}{360°}$T
從D射到電場(chǎng)的粒子最后穿過(guò)y軸，它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t₂=$\frac{135°}{360°}$T
故 t₂-t₁=$\frac{90°}{360°}$T=$\frac{πm}{2qB}$
（3）在速度最小的粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，軌跡如綠線所示，可得其軌跡半徑為r₃=L
根據(jù)r=$\frac{mv}{qB}$，得最大速度為 v₁=$\frac{\sqrt{2}qBL}{m}$
最小速度為 v₃=$\frac{qBL}{m}$
據(jù)題：該粒子再次回到x軸時(shí)的速度大小恰好等于發(fā)射速度最大的粒子的發(fā)射速度，由動(dòng)能定理有：
 qE•L=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得 E=$\frac{q{B}^{2}L}{2m}$
答：
（1）y軸上有粒子穿過(guò)的區(qū)間長(zhǎng)度為2L；
（2）最先與最后穿過(guò)y軸的粒子的時(shí)間間隔為$\frac{πm}{2qB}$；
（3）若發(fā)射速度最小的粒子再次回到x軸時(shí)的速度大小恰好等于發(fā)射速度最大的粒子的發(fā)射速度，勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為$\frac{q{B}^{2}L}{2m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的解題關(guān)鍵是通過(guò)定圓心，找半徑，畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，并運(yùn)用幾何知識(shí)求解相關(guān)的長(zhǎng)度．