Question

2．如圖所示，兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌處于同一水平面內(nèi)，相距l(xiāng)=0.3m，導(dǎo)軌的左端M、N用R=0.2Ω的電阻相連，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，導(dǎo)軌上跨接一電阻r=0.1Ω的金屬桿，質(zhì)量m=0.1kg，整個(gè)裝置放在豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T，現(xiàn)對桿施一水平向右的拉力F=1.5N，使它由靜止開始運(yùn)動，求
（1）桿能達(dá)到的最大的速度為多大？此時(shí)拉力的瞬時(shí)功率多大？
（2）當(dāng)桿的速度為最大速度的一半時(shí)，桿的加速度多大？
（3）若桿達(dá)到最大速度后撤去拉力，則此后R上共產(chǎn)生多少熱能？

Answer 1

分析 桿運(yùn)動時(shí)，在水平方向受2個(gè)力，拉力和安培力，已知拉力和桿運(yùn)動的速度，可以求得感應(yīng)電動勢E，并根據(jù)歐姆定律求得電流，根據(jù)F=BIL求得安培力的大小，這樣可以求出此時(shí)桿加速度；由題意知桿做加速度減小的加速運(yùn)動，桿速度最大時(shí)，拉力與安培力平衡，已知拉力的大小即安培力的大小，根據(jù)安培定則可以求得電流I，再根據(jù)歐姆定律求得感應(yīng)電動勢的大小，由E=BLv可以求得桿速度最大時(shí)的加速度，然后由P=Fv得拉力的瞬時(shí)功率；根據(jù)能量守恒，撤去拉力后機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能，根據(jù)歐姆定律求得電阻R上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）桿達(dá)到最大速度v_max時(shí)，安培力和拉力平衡，又因?yàn)椋?br />${F}_{安}=BIL=B\frac{BL{v}_{max}}{R+r}L$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}{v}_{max}$
所以：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{R+r}{v}_{max}$
即：${v}_{max}=\frac{R+r}{{B}^{2}{L}^{2}}F$=$\frac{0.2+0.1}{{1}^{2}×0．{3}^{2}}×1.5m/s$=5m/s．
據(jù)P=Fv=1.5×5W=7.5W．
（2）當(dāng)桿的速度為2.5m/s時(shí)，桿切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=BLv=1×0.3×2.5V=0.75V，ab桿中產(chǎn)生的電流方向沿a指向b
此時(shí)桿受到的安培力：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}V}{R+r}$=$\frac{1×0.09×2.5}{0.2+0.1}$=0.75V；
根據(jù)左手定則，安培力的方向水平向左．
對桿受力分析，在水平方向桿受兩個(gè)力，拉力F=1.5N方向向右，安培力F_安=0.75N，方向水平向左
則桿在水平方向受到的合力F_合=F-F_安=1.5-0.75N=0.75N，方向水平向右．
根據(jù)牛頓第二定律，桿產(chǎn)生的加速度a=$\frac{0.75}{0.1}$=7.5m/s²；
（3由（1）分析知，（3）桿達(dá)到平衡時(shí)，最大速度為5m/s，此時(shí)撤去外力F，根據(jù)能量守恒，桿的動能將轉(zhuǎn)變成電路內(nèi)能釋放
故電路中產(chǎn)生的熱能等于桿的動能：
即${Q}_{總}={E}_{K}=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×0.1×{5}^{2}J=\frac{5}{4}J$
因?yàn)殡娮璁a(chǎn)生熱量Q=I²Rt可知，電路中R和r串聯(lián)，所以電阻R和r上產(chǎn)生的熱量之比等于電阻之比
所以由題意可知，電阻R上產(chǎn)生的熱量Q_R和電路產(chǎn)生總熱量之比為：$\frac{{Q}_{R}}{{Q}_{總}}=\frac{R}{R+r}$
即電阻產(chǎn)生熱量${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}{Q}_{總}$=$\frac{0.2}{0.2+0.1}×\frac{5}{4}J$=0.83J
答：（1）桿能達(dá)到的最大的速度為5m/s，此時(shí)拉力的瞬時(shí)功率為7.5W
（2）速度為2.5m/s時(shí)的加速度為7.5m/s²；
（3）若桿達(dá)到最大速度后撤去拉力，則此后R上共產(chǎn)生0.83J熱能．

點(diǎn)評 熟練運(yùn)動安培定則處理有關(guān)問題，能從物體運(yùn)動條件出發(fā)判斷物體做加速度減小的加速運(yùn)動，故物體速度最大時(shí)，拉力等于安培力即處于平衡狀態(tài)，物體所受合力為0．能根據(jù)能量守恒知，桿所有動能轉(zhuǎn)化為電能，并根據(jù)焦耳定律確定電阻的發(fā)熱量．