Question

如圖所示，讓擺球從圖中的 C位置由靜止開(kāi)始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好被拉斷，小球在粗糙的 水平面上由D點(diǎn)向右做勻減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)小A孔進(jìn)入半徑R=0.3m的 豎直放置的 光滑圓弧軌道，當(dāng)擺球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔．已知擺線長(zhǎng)L=2m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=0.5kg，D點(diǎn)與小孔A的 水平距離s=2m，g取10m/s²．試求：
（1）求擺線能承受的最大拉力為多大？
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)擺球由C到D運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能守恒，則得：mg（L-Lcosθ）=

1

2

mv

2D

在D點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：F_m-mg=m

v 2D

L

聯(lián)立可得：擺線的最大拉力為 F_m=2mg=10N
（2）小球不脫圓軌道分兩種情況：
①要保證小球能達(dá)到A孔，設(shè)小球到達(dá)A孔的速度恰好為零，
對(duì)小球從D到A的過(guò)程，由動(dòng)能定理可得：-μ₁mgs=0-

1

2

mv

2D

解得：μ₁=0.5
若進(jìn)入A孔的速度較小，那么將會(huì)在圓心以下做等幅擺動(dòng)，不脫離軌道．其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，由機(jī)械能守恒可得：

1

2

m

v

2A

=mgR
由動(dòng)能定理可得：-μ₂mgs=

1

2

m

v

2A

-

1

2

mv

2D

解得：μ₂=0.35
②若小球能過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)則不會(huì)脫離軌道，在圓周的最高點(diǎn)，由牛頓第二定律可得：mg=m

v2

R

由動(dòng)能定理可得：-μ₂mgs-2mgR=

1

2

mv2-

1

2

mv

2D

解得：μ₃=0.125
綜上所以摩擦因數(shù)μ的范圍為：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125
答：
（1）擺線能承受的最大拉力為10N．
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，粗糙水平面摩擦因數(shù)μ的范圍為0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125．