Question

（2008?東莞模擬）未來(lái)人類(lèi)要通過(guò)可控?zé)岷朔磻?yīng)取得能源，要持續(xù)發(fā)生熱核反應(yīng)必須把溫度高達(dá)幾百萬(wàn)攝氏度以上的核材料約束在一定的空間內(nèi)，約束的辦法有多種，其中技術(shù)上相對(duì)成熟的是用磁場(chǎng)約束，稱(chēng)為“托卡馬克”裝置，如圖為這種裝置的模型圖：垂直紙面的有環(huán)形邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（b區(qū)域）圍著磁感應(yīng)強(qiáng)度為零的圓形a區(qū)域，a區(qū)域內(nèi)的離子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，離子的速度只要不超過(guò)某值，就不能穿過(guò)環(huán)形磁場(chǎng)的外邊界而逃逸，從而被約束，設(shè)環(huán)形磁場(chǎng)的內(nèi)半徑R₁=0.5m，外半徑R₂=1.0m，若磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B₀=1.0T，被約束的離子比荷q/m=4.0×10⁷C/kg．（1）若a區(qū)域中沿半徑OM方向射入磁場(chǎng)的離子不能穿過(guò)磁場(chǎng)，粒子的速度不能超過(guò)多大？（2）若要使從a區(qū)域沿任何方向射入磁場(chǎng)的速率為2.0×10⁷m/s的離子都不能越出磁場(chǎng)的外邊界，則b區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B至少要有多大？

Answer 1

分析：（1）離子進(jìn)入磁場(chǎng)由洛倫茲力提供向心力，半徑r=

mv

qB

，離子速度越大，半徑越大．若a區(qū)域中沿半徑OM方向射入磁場(chǎng)的離子不能穿過(guò)磁場(chǎng)，軌跡半徑最大時(shí)，軌跡與磁場(chǎng)外邊界圓相切，由幾何知識(shí)求出軌跡圓的半徑，再由半徑公式求速度的最大值．
（2）粒子沿環(huán)狀域的內(nèi)邊界圓的切線方向射入磁場(chǎng)時(shí)，此時(shí)的軌道半徑為最小的軌道半徑，此時(shí)粒子若不能出磁場(chǎng)，則所以粒子都不會(huì)出磁場(chǎng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌道半徑，再通過(guò)軌道半徑公式求出最大的速度．

解答：解：（1）粒子的速度越大軌跡圓半徑越大，要使OM方向運(yùn)動(dòng)的離子不能穿越磁場(chǎng)，則其在環(huán)形磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓中最大者與磁場(chǎng)外邊界圓相切．
設(shè)軌跡圓的半徑為r₁，則

r

2 1

+

R

2 1

=(R2-r1)2
代入數(shù)據(jù)解得r₁=0.375m
設(shè)該圓運(yùn)動(dòng)的離子速度為v₁，qv1B=m

v 2 1

r1

．
即 v1=

Bqr1

m

=1.5×107m/s
（2）設(shè)離子以v₂的速度沿與內(nèi)邊界圓相切的方向射入磁場(chǎng)，且軌道與磁場(chǎng)外圓相切時(shí)，則以該速度沿各個(gè)方向射入磁場(chǎng)區(qū)的離子都不能穿出磁場(chǎng)邊界．
設(shè)軌跡圓的半徑為r₂，則得 r2=

R2-R1

2

=0.25m
由 B=

mv2

qr2

=2.0T
答：
（1）若a區(qū)域中沿半徑OM方向射入磁場(chǎng)的離子不能穿過(guò)磁場(chǎng)，粒子的速度不能超過(guò)1.5×10⁷m/s．
（2）b區(qū)域磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B至少要有2T．

點(diǎn)評(píng)：本題對(duì)數(shù)學(xué)幾何的能若a區(qū)域中沿半徑OM方向射入磁場(chǎng)的離子不能穿過(guò)磁場(chǎng)，粒子的速度不能超過(guò)力要求較高，關(guān)鍵找出臨界的半徑，再通過(guò)帶電粒子在磁場(chǎng)中的半徑公式求出臨界的速度．