Question

（2008?東莞模擬）光滑的長軌道形狀如下圖所示，底部為半圓型，半徑為R，固定在豎直平面內(nèi)．AB兩質(zhì)量相同的小環(huán)用長為R的輕桿連接在一起，套在軌道上．將AB兩環(huán)從圖示位置靜止釋放，A環(huán)離開底部2R．不考慮輕桿和軌道的接觸，即忽略系統(tǒng)機(jī)械能的損失，求：
（1）AB兩環(huán)都未進(jìn)入半圓型底部前，桿上的作用力．
（2）A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時，兩環(huán)速度大小．
（3）若將桿換成長2

2

R，A環(huán)仍從離開底部2R處靜止釋放，經(jīng)過半圓型底部再次上升后離開底部的最大高度．

Answer 1

分析：（1）兩個環(huán)以及連桿整體自由下落，處于完全失重狀態(tài)，故桿上彈力為零；
（2）A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等；根據(jù)幾何關(guān)系找到B環(huán)的位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式求解出各自的速度；
（3）由于桿長超過了半圓直徑，故A環(huán)一直在下方，速度為零時，結(jié)合幾何關(guān)系并根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可求解出高度．

解答：解：（1）對整體分析，自由落體，加速度g，以A為研究對象，A作自由落體則桿對A一定沒有作用力．即F=0
故AB兩環(huán)都未進(jìn)入半圓型底部前，桿上的作用力為零．
（2）AB都進(jìn)入圓軌道后，兩環(huán)具有相同角速度，則兩環(huán)速度大小一定相等，即V_A=V_B
對整體依機(jī)械能守恒定律，有：mg?2R+mg?

5

2

R=

1

2

?2mv2
解得
v=

9 2 gR

故A環(huán)到達(dá)最低點(diǎn)時，兩環(huán)速度大小均為

9 2 gR

．
（3）由于桿長超過了半圓直徑，故最后A環(huán)在下，如圖；
設(shè)A再次上升后，位置比原來高h(yuǎn)，如下圖所示．
由機(jī)械能守恒，有：-mgh+mg(2

2

R-2R-h)=0
解得h=(

2

-1)R，故A離開底部(

2

+1)R
故若將桿換成長2

2

R，A環(huán)仍從離開底部2R處靜止釋放，經(jīng)過半圓型底部再次上升后離開底部的最大高度為(

2

+1)R．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是根據(jù)幾何關(guān)系多次得到環(huán)的具體位置，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律列方程求解即可．