Question

設(shè)想宇航員完成了對(duì)火星表面的科學(xué)考察任務(wù)，乘坐返回艙圍繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道艙．為了安全，返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，二者必須具有相同的速度．返回艙在返回過(guò)程中需克服火星引力做功W=mgR（1-

R

r

），式中各量分別為：返回艙與人的總質(zhì)量為m，火星表面重力加速度為g，火星半徑為R，軌道艙到火星中心的距離為r，如圖所示．不計(jì)火星表面大氣對(duì)返回艙的阻力和火星自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，返回艙的動(dòng)能；
（2）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得多少能量，才能返回軌道艙？

Answer 1

（1）設(shè)火星的質(zhì)量為M，軌道艙的質(zhì)量為m₁．在火星表面處有g=G

M

R2

軌道艙繞火星做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)有G

Mm1

r2

=m1

v2

r

對(duì)接時(shí)，返回艙與軌道艙的速度相等．由以上兩式解得v返=v=

gR2 r

所以對(duì)接時(shí)返回艙的動(dòng)能為Ek=

1

2

mv返2=

mgR2

2r

（2）設(shè)返回艙返回過(guò)程中需要的能量為E，由能量守恒定律知，E-W=E_k，
∵返回艙返回過(guò)程克服引力做功W=mgR（1-

R

r

）
∴E=W+Ek=mgR(1-

R

r

)+

mgR2

2r

=mgR(1-

R

2r

)
答：（1）返回艙與軌道艙對(duì)接時(shí)，返回艙的動(dòng)能為

mgR2

2r

；
（2）該宇航員乘坐的返回艙至少需要獲得mgR(1-

R

2r

)的能量，才能返回軌道艙．