Question

某課外小組經(jīng)長期觀測，發(fā)現(xiàn)靠近某行星周圍有眾多衛(wèi)星，且相對均勻地分布于行星周圍，假設(shè)所有衛(wèi)星繞該行星的運動都是勻速圓周運動，通過天文觀測，測得離行星最近的一顆衛(wèi)星的運動半徑為R₁，周期為T₁，已知萬有引力常為G．求：
（1）行星的質(zhì)量；
（2）若行星的半徑為R，行星的第一宇宙速度；
（3）通過天文觀測，發(fā)現(xiàn)離行星很遠處還有一顆衛(wèi)星，其運動半徑為R₂，周期為T₂，試估算靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量．

Answer 1

（1）根據(jù)萬有引力提供向心力得：
G

Mm

R12

=m

4π2R1

T12

解得行星質(zhì)量為：M=

4π2R13

GT12

（2）由G

Mm

R2

=m

v2

R

得第一宇宙速度為：v=

2πR1

T1

R1 R

（3）因為行星周圍的衛(wèi)星分布均勻，研究很遠的衛(wèi)星可把其他衛(wèi)星和行星整體作為中心天體，
根據(jù)萬有引力提供向心力得：G

M總m

R22

=m

4π2R2

T22

所以行星和其他衛(wèi)星的總質(zhì)量M總=

4π2R23

GT22

所以靠近該行星周圍的眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量為：△M=

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

答：（1）行星的質(zhì)量為

4π2R13

GT12

；
（2）若行星的半徑為R，行星的第一宇宙速度為

2πR1

T1

R1 R

；
（3）通過靠近行星周圍眾多衛(wèi)星的總質(zhì)量為

4π2R23

GT22

-

4π2R13

GT12

．