Question

如圖所示，是某公園設(shè)計(jì)的一種游樂設(shè)施，所有軌道均光滑，AB面與水平面成一定夾角．一無動(dòng)力小滑車質(zhì)量為m=10kg，沿斜面軌道由靜止滑下，然后滑入第一個(gè)圓形軌道內(nèi)側(cè)，其軌道半徑R=2.5m，不計(jì)過B點(diǎn)的能量損失，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，在圓軌道最低點(diǎn)與最高點(diǎn)各放一個(gè)壓力傳感器，測試小滑車對軌道的壓力，并通過計(jì)算機(jī)顯示出來．小滑車到達(dá)第一圓軌道最高點(diǎn)C處時(shí)剛好對軌道無壓力，又經(jīng)過水平軌道滑入第二個(gè)圓形軌道內(nèi)側(cè)，其軌道半徑r=l．5m，然后從水平軌道上飛入水池內(nèi)，水面離水平軌道的距離為h=5m．g取10m/s²，小滑車在運(yùn)動(dòng)全過程中可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）小滑車在第一圓形軌道最高點(diǎn)C處的速度v_C的大小；
（2）在第二個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)D處小滑車對軌道壓力N的大��；
（3）若在水池內(nèi)距離水平軌道邊緣正下方的E點(diǎn)s=12m處放一氣墊（氣墊厚度不計(jì)），要使小滑車既能安全通過圓軌道又能落到氣墊之上，則小滑車至少應(yīng)從離水平軌道多高的地方開始下滑？

Answer 1

分析：（1）小車在C點(diǎn)對軌道恰好無壓力，根據(jù)重力恰好等于向心力列式求解；
（2）對從C到D過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解D點(diǎn)速度，再根據(jù)在D點(diǎn)時(shí)重力和彈力的合力提供向心力列式求解彈力大�。�
（3）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的分位移公式列式求出平拋運(yùn)動(dòng)的初速度，再對從開始到平拋起點(diǎn)的過程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解．

解答：解：（1）在C點(diǎn)：mg=m

v2

R

解得：v=5m/s
即小車通過C點(diǎn)的速度為5m/s．
（2）從C點(diǎn)到D點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有
mg(2R-2r)=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2

在D點(diǎn)：mg-N=m

v 2 D

r

解得N=333.3N
由牛頓第三定律知，小車對軌道的壓力為333.3N．
（3）小滑車要安全通過圓形軌道，在平臺(tái)上的速度至少為v₀，從釋放到平拋初位置過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有
mgH=

1

2

mv

2 0

    ①
從開始釋放到C點(diǎn)過程，根據(jù)動(dòng)能定理，有
mg(H-2R)=

1

2

mv

′

2 C

        ②
要能通過圓軌道，有
v′_C＞5m/s        ③
對于平拋運(yùn)動(dòng)，有
h=

1

2

gt2          ④
S=v₀t          ⑤
由①②③④⑤解得
H=7.2m
即小滑車至少應(yīng)從離水平軌道7.2m的地方開始下滑．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵要分析清楚小車的運(yùn)動(dòng)情況，然后根據(jù)向心力公式、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式、動(dòng)能定理列式求解；切入點(diǎn)在于小球恰好通過C點(diǎn)．