Question

如圖所示，是某公園設計的一種驚險刺激的娛樂設施，軌道除AB部分粗糙（μ=0.125）外，其余均光滑，AB斜面與水平面夾角為37⁰．一挑戰(zhàn)者質量為m=60kg，沿斜面軌道滑下，然后滑入第一個圓形軌道（軌道半徑R=2m），不計過B點時的能量損失，根據設計要求，在最低點與最高點各放一個壓力傳感器，測試挑戰(zhàn)者對軌道的壓力，并通過計算機顯示出來．挑戰(zhàn)者到達C處時剛好對軌道無壓力，又經過水平軌道滑入第二個圓形軌道（軌道半徑r=1.6m），然后從平臺上飛入水池內，水面離軌道的距離為h=5m．g取10m/s²，人在運動全過程中可視為質點．求：
（1）在第二個圓形軌道的最高點D處挑戰(zhàn)者對軌道的壓力大小．
（2）挑戰(zhàn)者若能完成上述過程，則他應從離水平軌道多高的地方開始下滑．
（3）挑戰(zhàn)者入水時的速度大小是多少？方向如何？

Answer 1

分析：（1）由題，挑戰(zhàn)者到達C處時剛好對軌道無壓力，由重力提供向心力，求出C點的速度．由C到D的過程中，只有重力做功mg（2R-2r），根據動能定理求出挑戰(zhàn)者到達D處的速度，由牛頓運動定律求解D處挑戰(zhàn)者對軌道的壓力大小．
（2）挑戰(zhàn)者從開始下滑到C點的過程中，重力做功mg（H-2R），摩擦力做功-μmgcos37°?

H

sin37°

，根據動能定理求出高度H．
（3）挑戰(zhàn)者從C點到落水過程中，重力做功mg（2R+h），根據動能定理求解挑戰(zhàn)者入水時的速度大小．研究B到C的過程求出B點的速度．挑戰(zhàn)者離開水平軌道后做平拋運動的初速度等于B點的速度，由速度的分解可求解挑戰(zhàn)者入水時的速度．

解答：解：
（1）在C點無壓力則 mg=m

v 2 C

R

由C到D動能定理得 
   mg（2R-2r）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 C

D點牛頓第二定律得 N+mg=m

v 2 D

r

聯(lián)立方程得 N=750N
由牛頓第三定律得到：人對軌道的壓力N′=750N
（2）挑戰(zhàn)者從開始下滑到C點的過程中，由動能定理得
   mg（H-2R）-μmgcos37°?

H

sin37°

=

1

2

m

v

2 C

-0
代入解得 H=6m
（3）挑戰(zhàn)者從C點到落水過程中，由動能定理得
   mg（2R+h）=

1

2

mv2
代入解得  v=10

2

m/s
  B到C動能定理得-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

-

1

2

m

v

2 B

得v_B=10m/s
挑戰(zhàn)者離開水平軌道后后做平拋運動．水平方向速度大小等于v_B不變．由數學知識可知，挑戰(zhàn)者入水時的速度方向與水平方向的夾角為45°．

點評：本題是多過程問題，應用動能定理時要靈活選擇研究的過程．本題研究物體在斜面上運動的過程時，也可以采用牛頓第二定律和運動學公式結合的方法進行處理．