Question

4．如圖為某種魚餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)管壁的作用力恰好為零．不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g．求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內(nèi)來(lái)回緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在$\frac{2}{3}$m到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的機(jī)械能損失，所以魚餌增加的機(jī)械能都是彈簧做功的結(jié)果，由功能關(guān)系知道彈簧具有的彈性勢(shì)能等于魚餌增加的機(jī)械能．
（3）分別求出質(zhì)量是m和$\frac{2}{3}m$的魚餌離開C時(shí)的速度，再利用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出落到水平面到轉(zhuǎn)軸之間的距離，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)90°時(shí)，魚餌在水平面形成兩個(gè)$\frac{1}{4}$圓面積，中間夾的環(huán)形面積即為所求．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，完全由重力提供，
則$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$…①
由①式解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$…②
（2）從彈簧釋放到最高點(diǎn)C的過(guò)程中，彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律有：
${E}_{P}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}{{mv}_{1}}^{2}$…③
由②③式解得：E_p=3mgR…④
（3）不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)裝置對(duì)魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚餌離開管口C后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間落到水面上，離OO'的水平距離為x₁，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律有：
$4.5R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$…⑤
x₁=v₁t+R…⑥
由⑤⑥式解得：x₁=4R…⑦
當(dāng)魚餌的質(zhì)量為$\frac{2}{3}m$時(shí)，設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v₂，由機(jī)械能守恒定律得：
${E}_{P}=\frac{2}{3}mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}m{{v}_{2}}^{2}$…⑧
由④⑧式解得：${v}_{2}=2\sqrt{gR}$…⑨
質(zhì)量為$\frac{2}{3}m$的魚餌落到水面上時(shí)，設(shè)離OO'的水平距離為x₂，則
x₂=v₂t+R…⑩
由⑤⑨⑩式解得：x₂=7R
魚餌能夠落到水面的最大面積為：$S=\frac{1}{4}（π{{x}_{2}}^{2}-π{{x}_{1}}^{2}）=8.25π{R}^{2}$
答：（1）魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能為3mgR；    
（3）魚餌能夠落到水面的最大面積為8.25πR²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，這是一道比較困難的好題．