Question

2012年4月30日4時(shí)50分，我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長(zhǎng)征三號(hào)乙”運(yùn)載火箭首次采用“一箭雙星”的方式，成功發(fā)射兩顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定轉(zhuǎn)移軌道．北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制開(kāi)發(fā)的區(qū)域性有源三維衛(wèi)星定位與通信系統(tǒng)（CNSS），其空間端包括5顆靜止軌道衛(wèi)星和30顆非靜止軌道衛(wèi)星，如圖甲所示．
為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，認(rèn)為其中一顆衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面重合，繞地心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（如圖乙所示），與地心的距離為地球半徑R₀的2倍，衛(wèi)星上的太陽(yáng)能收集板可以把光能轉(zhuǎn)化為電能，太陽(yáng)能收集板的面積為S，在陽(yáng)光下照射下每單位面積提供的最大電功率為P．已知地球表面重力加速度為g，近似認(rèn)為太陽(yáng)光是平行光，試估算：
（1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期；
（2）衛(wèi)星繞地球一周，太陽(yáng)能收集板工作時(shí)間及太陽(yáng)能收集板最多可以轉(zhuǎn)化多少電能？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，求出衛(wèi)星的周期．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出不能接受陽(yáng)光的陰影區(qū)所對(duì)應(yīng)的圓心角，從而得出太陽(yáng)能收集板的工作時(shí)間，根據(jù)E=PSt求出收集的電能．

解答：解：（1）地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
根據(jù)牛頓第二定律：

GMm

(2R0)2

=m

4π2

T2

(2R0)2
GM=gR02．
故衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=4π

2R0 g

．
（2）如圖，當(dāng)衛(wèi)星在陰影區(qū)時(shí)不能接受陽(yáng)光，據(jù)幾何關(guān)系：∠AOB=∠COD=

π

3

．
故衛(wèi)星繞地球一周，太陽(yáng)能收集板工作時(shí)間為：t=

5

6

T=

10π

3

2R0 g

．
最多轉(zhuǎn)化的電能：E=PSt=

10πPS

3

2R0 g

．
答：（1）衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=4π

2R0 g

．
（2）衛(wèi)星繞地球一周，太陽(yáng)能收集板工作時(shí)間及太陽(yáng)能收集板最多可以轉(zhuǎn)化的電能為

10πPS

3

2R0 g

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵萬(wàn)有引力提供向心力，萬(wàn)有引力等于重力這兩大理論，并能熟練運(yùn)用．