Question

11．如圖1所示，間距為L、電阻不計的光滑導(dǎo)軌固定在傾角為θ的斜面上，在區(qū)域I內(nèi)有方向垂直于斜面的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B₁，在區(qū)域Ⅱ內(nèi)有垂直于斜面向下的勻強磁場，其磁感應(yīng)強度B的大小隨時間t變化的規(guī)律如圖2所示．t=0時刻在軌道上端的金屬細(xì)棒ab從如圖1所示位置由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，同時下端的另一金屬細(xì)棒cd在位于區(qū)域I內(nèi)的導(dǎo)軌上由靜止釋放．在ab棒運動到區(qū)域Ⅱ的下邊界EF處之前，cd棒始終靜止不動；在t=t₀時刻ab棒恰進入?yún)^(qū)域Ⅱ、兩棒均與導(dǎo)軌接觸良好，已知ab、cd棒（忽略跨接在導(dǎo)軌外端的長度）的阻值均為R，質(zhì)量未知，區(qū)域Ⅱ沿斜面的長度為2L，重力加速度為g，求：
（1）區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁場的方向和0-t₀時間內(nèi)通過ab棒電流的方向；
（2）cd棒的質(zhì)量；
（3）ab棒開始下滑至EF的過程中回路中產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）區(qū)域Ⅱ內(nèi)磁場均勻變化，因此在回路中形成感應(yīng)電流，根據(jù)楞次定律判斷出流過cd的電流方向，然后根據(jù)平衡求出cd棒所受安培力方向，進一步根據(jù)左手定則判斷Ⅰ內(nèi)磁場方向．
（2）根據(jù)導(dǎo)體棒處于平衡狀態(tài)可知，安培力等于重力沿導(dǎo)軌向下分力，由此可求出通過cd棒的質(zhì)量．
（3）回路中電流恒定，根據(jù)Q=EIt可求出結(jié)果．

解答 解：（1）0-t₀時間內(nèi)，由楞次定律可知，通過ab棒電流的方向從a到b．流過cd的電流方向從d到c，cd所受安培力沿導(dǎo)軌向上，故由左手定則可知，I內(nèi)磁場垂直于斜面向上．
（2）0-t₀時間內(nèi)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為 E=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{△{B}_{t}}{△t}$L•2L=$\frac{2B-B}{{t}_{0}}$•2L²=$\frac{2B{L}^{2}}{{t}_{0}}$
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{2R}$=$\frac{B{L}^{2}}{R{t}_{0}}$
cd棒平衡，由平衡條件有：B₁IL=m_cdgsinθ
解得：m_cd=$\frac{B{B}_{1}{L}^{3}}{gR{t}_{0}sinθ}$．
（3）ab棒進入?yún)^(qū)域Ⅱ后cd棒仍靜止，則cd棒所受的安培力不變，表明回路中感應(yīng)電流不變，則ab棒作勻速直線運動，設(shè)ab勻速運動的速度為v．
則E=BLv，得 v=$\frac{E}{BL}$=$\frac{2L}{{t}_{0}}$
所以ab棒開始下滑至EF的過程中經(jīng)歷的總時間為 t=t₀+$\frac{2L}{v}$=2t₀；
回路產(chǎn)生總熱量：Q=EIt=$\frac{4{B}^{2}{L}^{4}}{R{t}_{0}}$
答：
（1）區(qū)域Ⅰ內(nèi)磁場的方向垂直于斜面向上．0-t₀時間內(nèi)通過ab棒電流的方向從a到b；
（2）cd棒的質(zhì)量是$\frac{B{B}_{1}{L}^{3}}{gR{t}_{0}sinθ}$；
（3）ab棒開始下滑至EF的過程中回路中產(chǎn)生的熱量是$\frac{4{B}^{2}{L}^{4}}{R{t}_{0}}$．

點評 解決這類問題的關(guān)鍵是弄清電路結(jié)構(gòu)，正確分析電路中的電流以及安培力的變化情況，要注意以cd棒為研究對象，由平衡條件判斷出其電流不變，說明回路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢保持不變．