Question

18．小船在靜水中的速度為4m/s，水流速度為3m/s，河寬60m，求：
（1）過河的最短時(shí)間為多少？小船在河水中實(shí)際行駛的距離是多大？
（2）若要小船以最短距離過河，開船方向怎樣（即船頭與河岸上游或下游夾角）？過河時(shí)間為多少？（結(jié)果可用三角函數(shù)表示，如有根式可保留）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)靜水速與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，由位移與速度的關(guān)系，即可求出最短時(shí)間；
（2）因船在靜水中的速度大于水流速度，當(dāng)船的合速度垂直河岸時(shí)，船渡河的位移最短，最短位移即為河寬，由d=vt即可求出時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)河寬為d，水速為v₁，船在靜水中的航速為v₂，當(dāng)小船的船頭始終正對(duì)河岸時(shí)，渡河時(shí)間最短設(shè)為t，則有：
t=$\fracldvvltd{{v}_{2}}$=$\frac{60}{4}$s=15s；
則船沿著水流方向的位移為：s=v_st=3×15m=45m；
那么小船實(shí)際渡河的位移為：x=$\sqrt{5hlrn7h^{2}+{s}^{2}}$=$\sqrt{6{0}^{2}+4{5}^{2}}$m=75m；
（2）因?yàn)関_船＞v_水，要使小船航程最短，小船船頭方向需斜向上游，設(shè)船頭與河岸的夾角為θ，則有：$Cosθ=\frac{v_水}{v_船}=\frac{3}{5}=0.6$
所以得：θ=53°
船渡河的位移最短，最短位移即為河寬60m；此時(shí)小船實(shí)際渡河的時(shí)間為：t′=$\frac9959dvd{{v}_{合}}$=$\frac{60}{\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}}$=$\frac{60\sqrt{7}}{7}$s．
答：（1）求小船渡河的最小時(shí)間是15s，此時(shí)小船實(shí)際渡河的位移為75m；
（2）船頭與河岸上游的夾角cosα=$\frac{3}{4}$，過河時(shí)間$\frac{60\sqrt{7}}{7}$S

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，當(dāng)靜水速與河岸垂直，渡河時(shí)間最短；當(dāng)合速度與河岸垂直，渡河航程最短．