Question

18．在足夠大的空間中，存在水平向右的勻強(qiáng)電場，若用絕緣細(xì)線將質(zhì)量為m的帶正電q的小球懸掛在電場中，其靜止時(shí)細(xì)線與豎直方向夾角θ=37°，現(xiàn)去掉細(xì)線，將該小球從電場中的某點(diǎn)豎直向上拋出，拋出時(shí)初速度大小為v₀，如圖所示，（sin37°=0.6cos37°=0.8）
求  （1）電場強(qiáng)度的大小
（2）小球在電場內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度
（3）小球從拋出到達(dá)到最小速度的過程中，電場力對(duì)小球所做的功．

Answer 1

分析 （1）靜止時(shí)受重力，電場力，繩的拉力三力平衡，由數(shù)學(xué)關(guān)系可得電場力．從而得到電場強(qiáng)度的大�。�
（2）小球從拋出點(diǎn)至最高點(diǎn)的過程中，由豎直方向的勻減速運(yùn)動(dòng)可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間，在由水平方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可得小球在最高點(diǎn)的速度．
（3）將曲線分解成豎直方向與水平方向的兩個(gè)運(yùn)動(dòng)．利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出小球速率最小值；再運(yùn)用動(dòng)能定理，可求出小球從拋出至達(dá)到最小速率的過程中，電場力對(duì)小球做的功．

解答 解：
（1）靜止時(shí)受重力，電場力，繩的拉力三力平衡，可得：
   qE=mgtan37°
則 E=$\frac{3mg}{4q}$
（2）小球沿豎直方向做勻減速運(yùn)動(dòng)，小球從拋出到最高點(diǎn)的時(shí)間  t=$\frac{{v}_{0}}{g}$
小球水平運(yùn)動(dòng)的加速度為 a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{3}{4}$g
小球到最高點(diǎn)的速度 v=at=$\frac{3}{4}{v}_{0}$
（3）小球被拋出以后，受到重力和電場力的共同作用，沿重力方向的分運(yùn)動(dòng)是勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度為g，設(shè)t時(shí)刻的速度為v₁；沿電場方向的分運(yùn)動(dòng)是初速度為0的勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)加速度為a，t時(shí)刻的速度為v₂，則有
  v₁=v₀-gt，v₂=at和a=$\frac{3}{4}$g
小球t時(shí)刻的速度大小為 v=$\sqrt{{v}_{1}^{2}+{v}_{2}^{2}}$
由以上各式得出：$\frac{25}{16}$g²t²-2v₀gt+（v₀²-v²）=0
解得當(dāng)t=$\frac{16{v}_{0}}{25g}$時(shí)v的最小值為 v_min=$\frac{3}{5}$v₀
v_min的方向與電場力和重力的合力方向垂直，即與電場的方向夾角為37°．
 小球沿電場方向的位移為 s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，電場力做功為W_E=qE•s
可得 W_E=$\frac{72m{v}_{0}^{2}}{625}$=0.12$m{v}_{0}^{2}$
答：
（1）電場強(qiáng)度的大小是$\frac{3mg}{4q}$．
（2）小球在電場內(nèi)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度是$\frac{3}{4}{v}_{0}$．
（3）小球從拋出到達(dá)到最小速度的過程中，電場力對(duì)小球所做的功是0.12$m{v}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了運(yùn)動(dòng)的合成與分解研究的方法，并讓學(xué)生掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、牛頓第二定律、動(dòng)能定理等規(guī)律．同時(shí)讓學(xué)生形成如何處理曲線的方法．如果將速度按照合力方向和垂直合力方向分解，當(dāng)沿合力方向的速度減為零時(shí)其速度達(dá)到最小值，也可以解出最小速度．運(yùn)用速度矢量合成的三角形法則也可求解．