Question

（2008?江蘇模擬）如圖所示，在傾角為30°的斜面OA的左側(cè)有一豎直檔板，其上有一小孔P，OP=0.5m．現(xiàn)有一質(zhì)量m=4×10^-20kg，帶電量q=+2×10^-14C的粒子，從小孔以速度v₀=3×10⁴m/s水平射向磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.2T、方向垂直紙面向外的一圓形磁場區(qū)域．且在飛出磁場區(qū)域后能垂直打在OA面上，粒子重力不計(jì)．求：
（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的時間；
（3）圓形磁場區(qū)域的最小半徑．
附加題：（4）若磁場區(qū)域?yàn)檎�三角形且磁場方向垂直向里，粒子運(yùn)動過程中始終不碰到擋板，其他條件不變，求：此正三角形磁場區(qū)域的最小邊長．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑，并由圓周運(yùn)動公式求出周期．
（2）畫出粒子運(yùn)動的軌跡如圖，由幾何知識得到軌跡對應(yīng)的圓心角θ，由t=

θ

π

T求出粒子在磁場中運(yùn)動的時間；
（3）當(dāng)粒子的軌跡圓正好以PQ為直徑時，圓形磁場區(qū)域的半徑最小，則知最小半徑的值．
（4）若磁場區(qū)域?yàn)檎�三角形且磁場方向垂直向里，粒子運(yùn)動過程中始終不碰到擋板，其他條件不變，由幾何關(guān)系可求圓周半徑，可求正三角形磁場區(qū)域的最小邊長．

解答：解：（1）粒子在磁場中，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得
qvB=m

v2

r

，T=

2πr

v

得：r=

mv

qB

=0.3m
（2）畫出粒子運(yùn)動的軌跡如圖，由幾何知識得到軌跡對應(yīng)的圓心角θ=60°，則粒子在磁場中運(yùn)動的時間為
   t=

θ

2π

T=

1

6

T=

πm

3qB

=

π

3

×10^-5s
（3）當(dāng)粒子的軌跡圓正好以PQ為直徑時，圓形磁場區(qū)域的半徑最小，根據(jù)幾何知識得知，PQ=r，則磁場最小的半徑為R_min=

r

2

=0.15m
（4）畫出粒子的運(yùn)動軌跡如圖，由數(shù)學(xué)知識可得：L=

2r+rcos30°

cos30°

得：L=

mv

qB

(

4

3

+1)=

4 3 +3

10

=0.99m
答：（1）粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為0.3m
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的時間

π

3

×10^-5s；
（3）圓形磁場區(qū)域的最小半徑0.15m．
（4）此正三角形磁場區(qū)域的最小邊長0.99m．

點(diǎn)評：本題中圓形磁場區(qū)域最小的直徑等于入射點(diǎn)與出射點(diǎn)間的距離是常用的經(jīng)驗(yàn)結(jié)論，在本題中要靈活運(yùn)用．