Question

14．如圖所示，一塊質(zhì)量m₁=0.99kg的木板靜止在水平地面上，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m₂=1kg的小物塊靜止在木板右端，已知物塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.2，木板與地面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.4．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=0.01kg的子彈以v₀=400m/s的速度沿水平方向擊中木板并嵌在其中，不考慮子彈與木板作用過(guò)程中的位移，已知重力加速度g=10m/²．求：
（1）子彈擊中木板過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能△E；
（2）若物塊始終未從木板上滑下，則最終物塊距木板右端多遠(yuǎn)；
（3）物塊與木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）子彈擊中木板的過(guò)程中，根據(jù)二者組成系統(tǒng)動(dòng)量守恒得出共同速度，根據(jù)能量守恒定律得出損失的機(jī)械能；
（2）分別對(duì)物塊與木板進(jìn)行受力分析，判斷二者是否發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，然后由牛頓第二定律求出加速度，最后判斷出物塊距木板右端多遠(yuǎn)；
（3）由功能關(guān)系即可求出物塊與木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量Q．

解答 解：（1）子彈擊中木板的過(guò)程中，二者組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，規(guī)定向右為正方向，則：
mv₀=（m+m₁）v₁   
代入數(shù)據(jù)得：v₁=4m/s
子彈擊中木板的過(guò)程中，由能量守恒定律：$△E=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{1}）{v}_{1}^{2}$      
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)可得：△E=792 J
（2）子彈擊中木板后，木板與子彈組成的系統(tǒng)受到重力、木塊的壓力、地面的支持力和地面的摩擦力、物塊的摩擦力．沿水平方向：
（m+m₁）a₁=-μ₁（m+m₁+m₂）g-μ₂m₂g
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{1}=-10m/{s}^{2}$
物塊受到摩擦力，則：m₂a₂=μ₂m₂g
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{2}=2m/{s}^{2}$
當(dāng)二者的速度相等時(shí)，設(shè)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為t₁，則：
v₁+a₁t₁=a₂t₁
得：t₁=$\frac{1}{3}$s
此時(shí)二者的速度：${v}_{2}={v}_{1}+{a}_{1}t=4-10×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$m/s
速度相等后若二者一起做減速運(yùn)動(dòng)，則：（m+m₁+m₂）a₃=-μ₁（m+m₁+m₂）g
所以：${a}_{3}=-4m/{s}^{2}$
由于|a₃|＞a₂
可知木板與物塊不能一起減速，此時(shí)木板減速快，而物塊減速慢，若物塊以2m/s²的加速度做減速運(yùn)動(dòng)，則木板受到的物塊的摩擦力的方向向前，此時(shí)木板的加速度滿足：
（m+m₁）a₄=-μ₁（m+m₁+m₂）g+μ₂m₂g
代入數(shù)據(jù)得：a₃=-3m/s
所以木板減速到0 的時(shí)間：${t}_{2}=\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{4}}=\frac{0-\frac{1}{3}}{-3}=\frac{1}{9}$s
木板減速到速度等于0后，物塊仍然相對(duì)于木板向前運(yùn)動(dòng)，物塊運(yùn)動(dòng)的加速度不變，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：${t}_{3}=\frac{{0-v}_{2}}{-{a}_{2}}=\frac{0-\frac{1}{3}}{-2}=\frac{1}{6}$s
物塊加速階段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2×\frac{1}{9}=\frac{1}{9}$m
此時(shí)木板的位移：${x}_{2}={v}_{1}{t}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=4×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×（-10）×\frac{1}{9}$=$\frac{19}{18}$m
此時(shí)物塊距木板右端的距離：${L}_{1}={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{19}{18}-\frac{1}{9}=\frac{17}{18}$m
物塊減速階段的位移：${x}_{3}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{2×2}=\frac{1}{9}$m
此過(guò)程中木板的位移：${x}_{4}=\frac{{0-v}_{2}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{-{（\frac{2}{3}）}^{2}}{2×（-3）}=\frac{2}{27}$m
該過(guò)程中物塊相對(duì)于木板的位移：${L}_{2}={x}_{4}-{x}_{3}=\frac{2}{27}-\frac{1}{9}=-\frac{1}{27}$m
所以最終時(shí)，物塊距木板右端的距離：L=${L}_{1}+{L}_{2}=\frac{17}{18}-\frac{1}{27}=\frac{47}{54}$m
（3）物塊與木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量：Q=μ₂m₂gL₁+μ₂m₂g•|L₂|
代入數(shù)據(jù)得：Q=$\frac{55}{27}$J
答：（1）子彈擊中木板過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能是792J；
（2）若物塊始終未從木板上滑下，則最終物塊距木板右端$\frac{47}{54}$m遠(yuǎn)；
（3）物塊與木板間因摩擦產(chǎn)生的熱量是$\frac{55}{27}$J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，關(guān)鍵要分析清楚物體的受力情況與運(yùn)動(dòng)情況，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律可以解題．