Question

15．如圖甲所示，豎直平面內有兩根間距為d的足夠長平行導軌，導軌上端接有阻值為R的電阻，質量為m、電阻為r的導體棒夾在兩導軌間，導體棒與導軌間的摩擦不計，導軌間存在垂直導軌平面磁感應強度為B的勻強磁場，磁感應強度B的大小隨時間變化的規(guī)律如圖乙所示，在0～t₀時間內，作用一外力使導體棒靜止，此時導體棒距上端電阻R距離為d，在t₀時刻撤去外力．已知重力加速度為g，試求：
（1）t₀時刻導體棒中的電流大小和方向；
（2）導體棒運動的最大速度v；
（3）若從靜止開始到導體棒達到最大速度，電阻R產生的熱量為Q，則這個過程中導體棒下落的高度h．

Answer 1

分析 （1）由法拉第電磁感應定律求解感應電動勢，再有歐姆定律求解電流的變化，
（2）最大速度時，加速度應為0，由牛頓第二定律即可求解，
（3）根據能量守恒定律求解即可，

解答 解：（1）0～t₀時間內，回路中產生的感應電動勢$E=\frac{△φ}{△t}={d^2}\frac{△B}{△t}=\frac{{B{d^2}}}{t_0}$
0～t₀時間內，回路中的電流為$I=\frac{E}{R+r}$此階段電流恒定        
t₀時刻之后，導體棒從靜止開始下落，速度逐漸增大，而加速度逐漸減小，電動勢E=Bdv，而電流i=$i=\frac{E}{R+r}=\frac{Bdv}{R+r}$故電流也隨時間變化的規(guī)律與速度隨時間變化規(guī)律類似．
圖象如圖

故t₀時刻電阻中的電流大小為零．
（2）t₀時刻之后，當速度增大到使導體棒受到的安培力與重力相等時，速度達到最大$\frac{{{B^2}{d^2}v}}{R+r}=mg$
解得導體棒運動的最大速度 $v=\frac{mg（R+r）}{{{B^2}{d^2}}}$
（3）電阻R產生了Q的熱量，則回路產生的熱量一共為$\frac{（R+r）Q}{R}$
由能量轉化與守恒定律得導體棒下落 時重力勢能轉化為導體棒的動能和回路中的內能，即
mgh=$\frac{1}{2}m{v^2}+\frac{（R+r）Q}{R}$
解得h=$\frac{v^2}{2g}+\frac{（R+r）Q}{Rmg}$=$\frac{{{m^2}g{{（R+r）}^2}}}{{2{B^4}{d^4}}}+\frac{（R+r）Q}{Rmg}$
答：（1）t₀時刻導體棒中的電流大小為零；
（2）導體棒運動的最大速度v為$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}9tzlp99^{2}}$；
（3）若從靜止開始到導體棒達到最大速度，電阻R產生的熱量為Q，則這個過程中導體棒下落的高度h為$\frac{{{m^2}g{{（R+r）}^2}}}{{2{B^4}{d^4}}}+\frac{（R+r）Q}{Rmg}$．

點評 當桿做勻速運動時速度最大，應用平衡條件、安培力公式、能量守恒定律即可正確解題．桿克服安培力做功轉化為焦耳熱，可以從能量角度求焦耳熱．