Question

有人設想:可以在飛船從運行軌道進入返回地球程序時，借飛船需要減速的機會，發(fā)射一個小型太空探測器，從而達到節(jié)能的目的。如圖所示，飛船在圓軌道Ⅰ上繞地球飛行，其軌道半徑為地球半徑的k倍（k>1）。當飛船通過軌道Ⅰ的A點時，飛船上的發(fā)射裝置短暫工作，將探測器沿飛船原運動方向射出，并使探測器恰能完全脫離地球的引力范圍，即到達距地球無限遠時的速度恰好為零，而飛船在發(fā)射探測器后沿橢圓軌道Ⅱ向前運動，其近地點B到地心的距離近似為地球半徑R。以上過程中飛船和探測器的質量均可視為不變。已知地球表面的重力加速度為g。

（1）求飛船在軌道Ⅰ運動的速度大��；

（2）若規(guī)定兩質點相距無限遠時引力勢能為零，則質量分別為M、m的兩個質點相距為r時的引力勢能，式中G為引力常量。在飛船沿軌道Ⅰ和軌道Ⅱ的運動過程，其動能和引力勢能之和保持不變；探測器被射出后的運動過程中，其動能和引力勢能之和也保持不變。

①求探測器剛離開飛船時的速度大��；

②已知飛船沿軌道Ⅱ運動過程中，通過A點與B點的速度大小與這兩點到地心的距離成反比。根據(jù)計算結果說明為實現(xiàn)上述飛船和探測器的運動過程，飛船與探測器的質量之比應滿足什么條件。

Answer 1

（1）；（2）① ②

【解析】

試題分析：（1）設地球質量為M，飛船質量為m，探測器質量為m'，當飛船與探測器一起繞地球做圓周運動時的速度為v0

根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

對于地面附近的質量為m0的物體有 m0g=GMm0/R2

解得：

（2）①設探測器被發(fā)射出時的速度為v'，因其運動過程中動能和引力勢能之和保持不變，所以探測器剛好脫離地球引力應滿足

解得 ：

②設發(fā)射探測器后飛船在A點的速度為vA,運動到B點的速度為vB, 因其運動過程中動能和引力勢能之和保持不變，所以有

對于飛船發(fā)射探測器的過程，根據(jù)動量守恒定律有 （m+ m'）v0=mvA+ m'v'

因飛船通過A點與B點的速度大小與這兩點到地心的距離成反比，即RvB=kRvA

解得：

考點：萬有引力定律；動量守恒定律；能量守恒定律。