Question

5．如圖所示，光滑軌道的DP段為水平軌道，PQ段為半徑是R的豎直半圓軌道，半圓軌道的下端與水平的軌道的右端相切于P點(diǎn)．質(zhì)量為m的小球A以某一速度向右運(yùn)動(dòng)，與原來靜止的、大小相同的、質(zhì)量為2m的小球B發(fā)生彈性碰撞，碰后B向右運(yùn)動(dòng)，要使B在半圓軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，求A運(yùn)動(dòng)的初速度大��？

Answer 1

分析 要使B在半圓軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，有兩種情況：一種是在圓心以下$\frac{1}{4}$圓周上運(yùn)動(dòng)．另一種是能通過半圓最高點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒和臨界條件結(jié)合求解．

解答 解：碰撞過程，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
     mv₀=mv_A+2mv_B ①
根據(jù)能量守恒定律得
   $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$•2mv_B²②
聯(lián)立①②解得 v_A=$\frac{1}{3}$v₀，v_B=$\frac{2}{3}$v₀．
對(duì)于小球B，要使在半圓軌道中運(yùn)動(dòng)時(shí)不脫離軌道，恰好到達(dá)圓心等高處時(shí)速度為0，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
     $\frac{1}{2}$•2mv_B²=2mgR
聯(lián)立解得 v₀=$\frac{3\sqrt{2gR}}{2}$
小球B恰好到達(dá)半圓軌道最高點(diǎn)時(shí)，有 2mg=2m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
從碰后到半圓軌道最高點(diǎn)的過程，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$•2mv_B²=2mgR+$\frac{1}{2}•2m{v}^{2}$
聯(lián)立解得 v₀=$\frac{3\sqrt{5gR}}{2}$
故A運(yùn)動(dòng)的初速度大小應(yīng)滿足的條件是：0＜v₀≤$\frac{3\sqrt{2gR}}{2}$或v₀≥$\frac{3\sqrt{5gR}}{2}$．
答：A運(yùn)動(dòng)的初速度大小應(yīng)滿足的條件是：0＜v₀≤$\frac{3\sqrt{2gR}}{2}$或v₀≥$\frac{3\sqrt{5gR}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵要把握隱含的臨界條件，知道小球到達(dá)半圓最高點(diǎn)的臨界條件是重力等于向心力，要注意本題解得的是范圍，而不是一個(gè)特殊值．