Question

【題目】將一傾角為、上表面光滑的斜面體固定在水平地面上，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧的上端固定在斜面上，下端與質(zhì)量為m的小滑塊連接且彈簧與斜面平行，如圖所示。用外力控制小滑塊使彈簧處于原長(zhǎng)，某時(shí)刻撤去外力，小滑塊從靜止開始自由運(yùn)動(dòng)。已知：斜面足夠長(zhǎng)，重力加速度為g。

（1）求：小滑塊運(yùn)動(dòng)到平衡位置時(shí)的加速度大�。�

（2）若小滑塊在斜面上振動(dòng)的周期為T，沿斜面向下運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)平衡位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，請(qǐng)寫出小滑塊振動(dòng)過(guò)程中位移x隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式；

（3）愛鉆研的小明同學(xué)思考能否將重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能這兩個(gè)勢(shì)能等效地看成一個(gè)勢(shì)能。試幫助小明論述是否可以引進(jìn)“等效勢(shì)能”。若可以，以小滑塊運(yùn)動(dòng)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)O，平行斜面向上建立一維坐標(biāo)系Ox，求出“等效勢(shì)能”的表達(dá)式（規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)為“等效勢(shì)能”的零點(diǎn)）；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

（1）小滑塊的回復(fù)力由重力分力與彈簧彈力的合力提供。在平衡位置時(shí)，回復(fù)力為零，有

得小物塊加速度：

（2）假設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中任意時(shí)刻小滑塊相對(duì)平衡位置的位移為x，如下圖所示。

則小滑塊受到的回復(fù)力為

聯(lián)立以上方程得

并且回復(fù)力方向與位移x方向相反，故物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

所以位移x隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式為

（3）可以引入，因?yàn)橹亓�和彈簧彈力合力做功和路徑無(wú)關(guān)。由（2）可見：力F與位置坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系為：，作出圖象如下圖所示：

由圖象的物理意義可知：小滑塊從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意點(diǎn)x的過(guò)程中，力F做負(fù)功，且做功的數(shù)值等于圖中帶陰影三角形的面積，即：

設(shè)“等效勢(shì)能”為Ep，由功能關(guān)系得:

由于規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)為“等效勢(shì)能”的零點(diǎn)，即

由以上方程得：