Question

1．如圖所示，水平虛線L₁、L₂之間是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向水平向里，磁場(chǎng)區(qū)域的高度為h．豎直平面內(nèi)有一質(zhì)量為m 的直角梯形線框，底邊水平，其上下邊長(zhǎng)之比為5：1，高為2h．現(xiàn)使線框AB邊在磁場(chǎng)邊界L₁的上方h高處由靜止自由下落（下落過(guò)程底邊始終水平，線框平面始終與磁場(chǎng)方向垂直），當(dāng)AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度恰好為0，在DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)前的一段時(shí)間內(nèi)，線框做勻速運(yùn)動(dòng)．求：
（1）求AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框的速度與CD邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度各是多少？
（2）從線框開始下落到DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱為多少？
（3）DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框加速度的大小為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求解AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框的速度；根據(jù)AB剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度恰好為0，由平衡條件列出重力與安培力的關(guān)系方程．在DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)前的一段時(shí)間內(nèi)，線框做勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)線框有效切割長(zhǎng)度為2l，由平衡條件得到重力與安培力的關(guān)系式，將兩個(gè)重力與安培力的關(guān)系式進(jìn)行對(duì)比，求出DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)前線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度；
（2）根據(jù)能量守恒定律求解線框產(chǎn)生的焦耳熱；
（3）根據(jù)安培力公式求出安培力，由閉合電路歐姆定律求解電流，然后利用牛頓第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v₀，線框電阻為R，AB=l，則CD=5l
由機(jī)械能守恒定律得：
$mgh=\frac{1}{2}mv_0^2$      則${v_0}=\sqrt{2gh}$
AB剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)：$\frac{{{B^2}{l^2}{v_0}}}{R}=mg$
設(shè)DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)前勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度為v₁，線框切割磁感應(yīng)線的有效長(zhǎng)度為2l，
線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)有$\frac{{{B^2}{{（2l）}^2}{v_1}}}{R}=mg$
解得${v_1}=\frac{V_0}{4}=\frac{{\sqrt{2gh}}}{4}$  ①
（2）從線框開始下落到CD邊進(jìn)入磁場(chǎng)前瞬間，根據(jù)能量守恒定律得：$mg•3h-Q=\frac{1}{2}mv_1^2$  ②
①②聯(lián)立得：$Q=\frac{47}{16}mgh$
（3）CD剛進(jìn)入磁場(chǎng)瞬間，線框切割磁感應(yīng)線的有效長(zhǎng)度為3l，
F₁=BI₁3l  ③
由閉合電路歐姆定律得：
${I}_{1}=\frac{E′}{R}$  ④
E′=B3lv₁  ⑤
由牛頓第二定律得：
$a=\frac{{F}_{1}-mg}{m}$=$\frac{5}{4}g$
答：（1）求AB邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框的速度為$\sqrt{2gh}$，CD邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度是$\frac{\sqrt{2gh}}{4}$；
（2）從線框開始下落到DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{47}{16}mgh$
（3）DC邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框加速度的大小為$\frac{5}{4}g$．

點(diǎn)評(píng) 本題要研究物體多個(gè)狀態(tài)，再找它們的關(guān)系，關(guān)鍵要寫出線框有效的切割長(zhǎng)度，即與速度方向垂直的導(dǎo)體等效長(zhǎng)度．