Question

10．如圖所示，某一新型發(fā)電裝置的發(fā)電管是橫截面為矩形的水平管道，管道的長為L、寬為d、高為h，上下兩面是絕緣板．前后兩側面M、N是電阻可忽略的導體板，兩導體板與開關S和定值電阻R相連．整個管道置于磁感應強度大小為B、方向沿z軸正方向的勻強磁場中．管道內始終充滿電阻率為ρ的導電液體（有大量的正、負離子），且開關閉合前后，液體在管道進、出口兩端壓強差的作用下，均以恒定速率v₀沿x軸正向流動，液體所受的摩擦阻力不變．
（1）求開關閉合前，M、N兩板間的電勢差大小U₀；
（2）求開關閉合前后，管道兩端壓強差的變化△p；
（3）調整矩形管道的寬和高，但保持其他量和矩形管道的橫截面積S=dh不變，求電阻R可獲得的最大功率P_m及相應的寬高比$\fracjjvvtnj{h}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力等于電場力，即可求解；
（2）根據(jù)壓強與壓力的關系，結合安培力表達式，及歐姆定律，即可求解；
（3）由功率表達式，結合數(shù)學知識求極值法，即可求解．

解答 解：（1）設帶電離子所帶的電荷量為q，當其所受的洛倫茲力與電場力平衡時，U₀保持恒定，
有qv₀B=q$\frac{U0}b5jhtlh$①
解得：U₀=Bdv₀②
（2）設開關閉合前后，管道兩端壓強差分別為p₁、p₂，
液體所受的摩擦阻力均為f，開關閉合后管道內液體受到的安培力為F_安，
有p₁hd=f③
p₂hd=f+F_安④
F_安=BId⑥
根據(jù)歐姆定律，有I=$\frac{{U}_{0}}{R+r}$⑥
兩導體板間液體的電阻r=ρ$\frachbpzljb{Lh}$⑦
由②③④⑤⑥⑦式得△p=$\frac{Ld{v}_{0}{B}^{2}}{LhR+dρ}$⑧
（3）電阻R獲得的功率為P=I²R⑨
P=$（\frac{Bd{v}_{0}}{R+\frac{ρd}{Lh}}）^{2}$R⑩
當$\fracjp9x79x{h}$=$\frac{LR}{ρ}$時，⑪
電阻R獲得的最大功率P_m=$\frac{{B}^{2}dS{v}_{0}^{2}}{4ρ}$
答：（1）開關閉合前，M、N兩板間的電勢差大小Bdv₀；
（2）開關閉合前后，管道兩端壓強差的變化$\frac{Ld{v}_{0}{B}^{2}}{LhR+dρ}$；
（3）調整矩形管道的寬和高，但保持其他量和矩形管道的橫截面積S=dh不變，電阻R可獲得的最大功率
$\frac{{B}^{2}dS{v}_{0}^{2}}{4ρ}$及相應的寬高比$\fraczhhhvdh{h}$的值$\frac{LR}{ρ}$．

點評 考查帶電粒子受到洛倫茲力與電場力相平衡的應用，掌握壓強公式與安培力表達式，注意液體受到安培力的模型建立，同時理解會求極值的方法．